در ژنراتور ساده، حلقهای با N دور و مساحت A با سرعت زاویهای ثابت ω در میدان یکنواخت B میچرخد. اگر در t = 0 بردار عمود بر حلقه همجهت میدان باشد، شار پیوندی NΦ = NBA cos(ωt) و نیروی محرکه القایی ε = NBAω sin(ωt) است. بنابراین دامنه ولتاژ ε₀ = NBAω و بسامد آن f = ω/(2π) میشود. راه حل مطمئن این است که ابتدا زاویه میان میدان و بردار عمود بر سطح را تعیین کنی، شار را بنویسی و بعد با قانون فارادی مشتق بگیری؛ حفظکردن یک تابع سینوسی بدون توجه به وضعیت آغازین، فاز را اشتباه میکند.
مدل ژنراتور را به حلقه چرخان و میدان یکنواخت تبدیل کن
مدل پایه ژنراتور از یک پیچه N دور تشکیل میشود که با سرعت زاویهای ثابت در میدان مغناطیسی یکنواخت میچرخد. تغییر جهت سطح پیچه نسبت به میدان، شار مغناطیسی را تغییر میدهد و طبق قانون فارادی نیروی محرکه القایی میسازد. حلقه لغزان و جاروبکها اتصال پیچه چرخان به مدار بیرونی را حفظ میکنند؛ در مدل آموزشی مقاومت و اصطکاک این اجزا معمولاً ناچیز فرض میشود.
انرژی الکتریکی خروجی رایگان تولید نمیشود. عامل مکانیکی باید حلقه را بچرخاند و در حضور جریان بر گشتاور مغناطیسی مخالف غلبه کند؛ این همان نمود انرژیایی قانون لنز است. در مسئلههای محاسباتی این ورودی ممکن است موتور، توربین یا دستی باشد، اما رابطه ولتاژ القایی فقط به چگونگی تغییر شار نیاز دارد.
زاویه شار را با بردار عمود بر حلقه بسنج
شار یک دور حلقه برابر Φ = BA cosθ است؛ θ زاویه میان میدان B و بردار عمود بر سطح حلقه است، نه زاویه میدان با خود صفحه. برای N دور یکسان، شار پیوندی NΦ = NBA cosθ میشود. اگر صفحه حلقه عمود بر میدان باشد، بردار عمود با میدان همراستا و قدرمطلق شار بیشینه است. اگر صفحه موازی میدان باشد، بردار عمود بر B عمود و شار صفر است.
اگر زاویه α میان خود صفحه و میدان داده شود، θ = 90° − α و در نتیجه Φ = BA sinα است. پیش از نوشتن تابع زمان، یک شکل کوچک از صفحه، بردار عمود و میدان بکش؛ این کار انتخاب سینوس یا کسینوس را روشن میکند.
- زاویه در Φ = BA cosθ با بردار عمود بر سطح سنجیده میشود.
- سطح عمود بر میدان: |Φ| بیشینه
- سطح موازی میدان: Φ = 0
با قانون فارادی، ولتاژ سینوسی را از شار بساز
اگر در لحظه صفر بردار عمود حلقه همجهت B باشد، θ = ωt و NΦ = NBA cos(ωt) است. قانون فارادی ε = −d(NΦ)/dt میدهد ε = NBAω sin(ωt). در نتیجه بیشینه اندازه نیروی محرکه ε₀ = NBAω است. منفی قانون فارادی و علامت جهت مرجع دور حلقه، جهت لحظهای ولتاژ را تعیین میکنند؛ اگر فقط اندازه یا دامنه خواسته شده باشد از قدرمطلق استفاده میکنیم.
شار و ولتاژ یکچهارم دوره یا π/2 رادیان اختلاف فاز دارند. وقتی شار در بیشینه یا کمینه است، شیب نمودار شار صفر و ولتاژ صفر است. وقتی شار از صفر میگذرد، سریعترین تغییر را دارد و اندازه ولتاژ بیشینه میشود. این رابطه نموداری از حفظکردن جای سینوس و کسینوس مطمئنتر است.
- NΦ = NBA cos(ωt)
- ε = ε₀ sin(ωt)
- ε₀ = NBAω
- f = ω/(2π)
وضعیت آغازین را با فاز اولیه وارد معادله کن
اگر حلقه از وضعیت دیگری شروع شود، θ = ωt + θ₀ را بنویس. آنگاه NΦ = NBA cos(ωt + θ₀) و با همان قرارداد جهت، ε = NBAω sin(ωt + θ₀) خواهد بود. برای نمونه، اگر در t = 0 صفحه حلقه موازی میدان باشد و شار از صفر به سمت مقادیر مثبت برود، بهتر است ابتدا نمودار یا علامت مشتق شار را تعیین کنی؛ جهت مرجع انتخابی ممکن است ε(0) را مثبت یا منفی نشان دهد.
فاز اولیه دامنه و بسامد را تغییر نمیدهد؛ فقط نمودار را روی محور زمان جابهجا میکند. همچنین برعکسشدن جهت چرخش یا عوضکردن سرهای خروجی، علامت ولتاژ لحظهای را برعکس میکند اما ε₀ و f ثابت میمانند.
مثال حلشده: دامنه، بسامد و ولتاژ لحظهای ژنراتور
پیچهای 200 دور با مساحت هر دور 50 cm² در میدان 0.20 T با آهنگ 25 دور بر ثانیه میچرخد. در t = 0 بردار عمود پیچه همجهت میدان است. ابتدا واحدها را تبدیل میکنیم: A = 50×10⁻⁴ = 5.0×10⁻³ m² و ω = 2πf = 50π rad/s.
دامنه نیروی محرکه برابر ε₀ = NBAω است: ε₀ = 200×0.20×5.0×10⁻³×50π = 10π V، یعنی تقریباً 31.4 V. بسامد ولتاژ همان 25 Hz و دوره T = 1/25 = 0.040 s است. معادله با قرارداد انتخابشده ε(t) = 10π sin(50πt) خواهد بود.
در t = 0.005 s فاز 50π×0.005 = π/4 است؛ پس ε = 10π sin(π/4) ≈ 22.2 V. این لحظه یکهشتم دوره پس از آغاز است: شار هنوز مثبت اما در حال کاهش و ولتاژ میان صفر و بیشینه قرار دارد، پس نتیجه عددی با رفتار نمودار سازگار است.
مسئله ژنراتور را در شش گام حل و کنترل کن
یک: تعداد دور، مساحت هر دور، میدان و آهنگ چرخش را با واحد SI بنویس. دو: زاویه دادهشده را به زاویه میان B و بردار عمود تبدیل کن. سه: وضعیت t = 0 را مشخص و NΦ(t) را بساز. چهار: از ε = −d(NΦ)/dt استفاده کن. پنج: دامنه، بسامد یا مقدار لحظهای خواستهشده را جدا حساب کن. شش: نمودار شار و ولتاژ را در نقاط صفر و بیشینه کنترل کن.
دام رایج این است که دور بر دقیقه یا دور بر ثانیه را مستقیماً به جای ω بگذاریم؛ باید ابتدا f را به هرتز و سپس ω = 2πf را بسازیم. مساحت نیز باید مساحت یک دور باشد و عامل N جداگانه ضرب شود. برای مرور جهت جریان القایی، راهنمای قانون لنز و شار مغناطیسی را بخوان؛ برای تبدیل دامنه به مقدار مؤثر و محاسبه توان مقاومت، مقاله جریان متناوب سینوسی ادامه مستقیم این مسیر است.
- cm² را با ضریب 10⁻⁴ به m² تبدیل کن.
- دور بر ثانیه بسامد f است، نه ω.
- شار بیشینه با ولتاژ صفر همزمان است.
- علامت جهت به قرارداد وابسته است؛ دامنه همیشه نامنفی گزارش میشود.
برای حلقهای که یکنواخت در میدان میچرخد، زاویه را میان B و بردار عمود بر سطح تعریف کن و شار پیوندی را NΦ = NBA cosθ بنویس. با θ = ωt + θ₀ و قانون فارادی به ε = NBAω sin(ωt + θ₀) میرسی؛ علامت کلی به قرارداد جهت دور حلقه وابسته است، اما دامنه ε₀ = NBAω مستقل از آن است. شار در وضعیت سطح عمود بر میدان بیشینه و ولتاژ صفر است؛ یکچهارم دور بعد، شار صفر و اندازه ولتاژ بیشینه میشود. در پایان، دور بر ثانیه را به ω، سانتیمتر مربع را به متر مربع و دامنه را از مقدار لحظهای جدا کن.