در مایع ساکن با چگالی ثابت، اختلاف فشار میان دو نقطه فقط به اختلاف ارتفاع آنها بستگی دارد: ΔP = ρgΔh. اگر سطح مایع در تماس با هوا باشد، فشار پیمانهای در عمق h برابر ρgh و فشار مطلق برابر Patm + ρgh است. برای کف افقی با مساحت A نیز چون همه نقطههای کف در یک عمقاند، اندازه نیروی عمودی مایع بر کف F = PA است؛ فقط باید روشن کنی P فشار پیمانهای است یا مطلق. شکل ظرف یا حجم کل مایع مستقیماً وارد این رابطه نمیشود.
فشار در عمق را از اختلاف ارتفاع پیدا کن
در یک مایع ساکن و همگن، هرچه پایینتر برویم وزن ستون مایع بالای نقطه بیشتر و فشار بزرگتر میشود. اگر دو نقطه در یک مایع به اختلاف ارتفاع Δh باشند، Pپایین − Pبالا = ρgΔh است. کمیت h فاصله عمودی است، نه طول مسیر مورب روی دیواره و نه فاصله نقطه تا نزدیکترین سطح ظرف.
نقطههایی که در یک مایع پیوسته و ساکن روی یک تراز افقیاند فشار برابر دارند. به همین دلیل در سه ظرف با شکلهای متفاوت، اگر نوع مایع، فشار سطح و ارتفاع مایع یکسان باشد، فشار کف یکسان است؛ حتی اگر حجم مایعهای درون ظرفها برابر نباشد.
- اختلاف فشار: ΔP = ρgΔh
- فشار پیمانهای زیر سطح آزاد: Pg = ρgh
- فشار مطلق: Pabs = Pسطح + ρgh
فشار پیمانهای را با فشار مطلق اشتباه نگیر
فشار پیمانهای، اختلاف فشار نقطه با فشار هوای محیط است. در ظرف بازی که سطح مایع زیر فشار جو قرار دارد، Pg = ρgh. فشار مطلق از خلأ سنجیده میشود و برابر Pabs = Patm + ρgh است. اگر سؤال فقط «فشار ناشی از مایع» یا «افزایش فشار نسبت به سطح» را بخواهد، معمولاً همان ρgh کافی است.
در ظرف بسته، فشار سطح الزاماً فشار جو نیست. اگر گاز بالای مایع فشار P0 داشته باشد، فشار مطلق نقطه در عمق h برابر P0 + ρgh میشود. پس پیش از جایگذاری، عبارت صورت سؤال و فشار وارد بر سطح آزاد را مشخص کن.
نمودار فشار–عمق را با شیب ρg بخوان
برای مایعی با چگالی ثابت، نمودار فشار بر حسب عمق خط راست است. اگر محور عمودی فشار پیمانهای باشد، خط از مبدأ میگذرد و شیب آن ρg است. اگر محور فشار مطلق باشد، عرض از مبدأ فشار سطح مایع است؛ در ظرف باز این مقدار Patm خواهد بود.
از دو نقطه نمودار میتوان چگالی را به دست آورد: ρ = ΔP/(gΔh). در مقایسه دو مایع، خطی که شیب بیشتری دارد به مایع چگالتر مربوط است. تغییر سطح مقطع ظرف شیب نمودار را عوض نمیکند، چون شیب به چگالی و g وابسته است.
مثال حلشده: فشار پیمانهای و مطلق در عمق آب
نقطهای 1.5 m زیر سطح آب قرار دارد. با ρ = 1000 kg/m³، g = 10 m/s² و Patm = 1.0×10⁵ Pa، فشار پیمانهای آن Pg = 1000×10×1.5 = 1.5×10⁴ Pa است.
فشار مطلق برابر مجموع فشار سطح و افزایش فشار در آب است: Pabs = 1.0×10⁵ + 1.5×10⁴ = 1.15×10⁵ Pa. کنترل یکا نیز مهم است: kg/m³ × m/s² × m به kg/(m·s²)، یعنی پاسکال، میرسد.
نیروی وارد بر کف افقی را از F = PA حساب کن
اگر کف ظرف افقی باشد، همه نقاط آن در یک عمقاند و فشار روی کف یکنواخت است؛ پس اندازه نیروی مایع F = PA است. برای نیروی خالص ناشی از اختلاف فشار داخل و بیرون کف باید ΔP را در A ضرب کرد. در بسیاری از ظرفهای باز، فشار جو از دو طرف کف اثر میگذارد و در محاسبه نیروی خالص حذف میشود؛ آنگاه Fخالص = ρghA است.
برای نمونه، کف افقی مخزن آب در عمق 0.80 m مساحت 300 cm² دارد. ابتدا A = 300×10⁻⁴ = 0.030 m². فشار پیمانهای 1000×10×0.80 = 8000 Pa و نیروی خالص ناشی از آب F = 8000×0.030 = 240 N است. استفاده مستقیم از 300 در رابطه، پاسخ را دههزار برابر بزرگ میکند.
در چند مایع، افزایش فشار لایهها را جمع کن
اگر چند مایع نامخلوط روی هم باشند، نمیتوان برای کل ارتفاع یک چگالی دلخواه گذاشت. از سطح شروع کن و هنگام پایینرفتن در هر لایه، ρᵢghᵢ را به فشار اضافه کن. بنابراین فشار پیمانهای زیر دو لایه برابر ρ₁gh₁ + ρ₂gh₂ است.
مثلاً زیر 0.20 m روغن با چگالی 800 kg/m³ و 0.30 m آب، با g = 10 m/s²، فشار پیمانهای برابر 800×10×0.20 + 1000×10×0.30 = 4600 Pa است. ترتیب لایهها برای فشار نهاییِ زیر هر دو لایه اثری ندارد، اما چگالتر بودن مایع پایین برای پایداری آرایش اهمیت دارد.
برای دیواره عمودی و شکل ظرف، میانبر نادرست نزن
روی دیواره عمودی، عمق از بالا به پایین تغییر میکند؛ پس فشار یکنواخت نیست و نمیتوان فشار پایین دیواره را در کل مساحت ضرب کرد. اگر توزیع فشار خطی و سطح مستطیلی از سطح آزاد تا عمق h باشد، فشار متوسط برابر نصف فشار بیشینه است. در سؤالهای خارج از این حالت باید توزیع فشار را با روشی که صورت سؤال میدهد تحلیل کرد.
فشار کف را با وزن مایع تقسیم بر مساحت کف یکی نگیر. در ظرفی با دیوارههای مایل، مؤلفه عمودی نیروی دیواره میتواند باعث شود نیروی مایع بر کف با وزن کل مایع برابر نباشد؛ این پدیده تناقض هیدروستاتیکی است. مسیر امن حل چنین است: عمق را پیدا کن، فشار همان تراز را حساب کن، سپس فقط اگر سطح همعمق و فشار یکنواخت است از F = PA استفاده کن.
- h را عمودی اندازه بگیر، نه روی دیواره
- برای نیروی خالص، اختلاف فشار دو سوی سطح را به کار ببر
- cm² را با ضریب 10⁻⁴ به m² تبدیل کن
- روی دیواره عمودی فشار یکنواخت نیست
برای حل سؤال فشار مایع، یک تراز مرجع انتخاب و فاصله عمودی تا نقطه موردنظر را پیدا کن. در مایع یکنواخت و ساکن، فشار پیمانهای ρgh و فشار مطلق Pسطح + ρgh است. در چند مایع، سهم ρgh هر لایه را جداگانه جمع کن. نیروی کف افقی از F = PA به دست میآید و فشار باید در تمام سطح یکنواخت باشد؛ برای دیواره عمودی نمیتوان فشار یک نقطه را در کل مساحت ضرب کرد. وابستهنبودن فشار کف به شکل ظرف، تفاوت فشار پیمانهای و مطلق و تبدیل درست cm² به m² سه نکته کلیدی کنترل پاسخاند.