سقوط جسم در آسانسور شتاب‌دار؛ زمان برخورد با کف کابین

داده‌ها و فرض‌های مسئله آسانسور را روشن کن

آسانسوری با سرعت لحظه‌ای 4 m/s رو به بالا و شتاب ثابت 2 m/s² رو به بالا حرکت می‌کند. پیچ کوچکی از سقف کابینی با ارتفاع داخلی 3.6 m جدا می‌شود. با g = 10 m/s²، مقاومت هوا ناچیز و ابعاد پیچ ناچیز، زمان رسیدن پیچ به کف و سرعت پیچ نسبت به کف در لحظه برخورد را می‌خواهیم.

در لحظه جدایی، پیچ و کابین سرعت یکسانی نسبت به زمین دارند؛ بنابراین سرعت نسبی آغازین پیچ صفر است. پس از جدایی فقط وزن به پیچ وارد می‌شود و شتاب آن نسبت به زمین رو به پایین است، اما کف همچنان همراه آسانسور رو به بالا شتاب می‌گیرد. کابین را صلب و ارتفاع داخلی را ثابت فرض می‌کنیم.

عدد 4 m/s برای حل نسبی لازم نیست، ولی در حل زمینی کمک می‌کند ببینیم چرا سرعت مشترک آغازین حذف می‌شود. همین تشخیص مدل، مسئله را از سقوط آزاد معمولی با کف ثابت جدا می‌کند.

• ارتفاع سقف تا کف: h = 3.6 m
• شتاب کابین: a = 2 m/s² رو به بالا
• سرعت نسبی اولیه: v_rel,0 = 0
• شتاب گرانش: g = 10 m/s² رو به پایین

سقوط جسم در آسانسور شتاب‌دار را با شتاب نسبی مدل کن

بالا را جهت مثبت می‌گیریم. پس از رهاشدن، شتاب پیچ a_object = −g = −10 m/s² و شتاب آسانسور a_elevator = +2 m/s² است. شتاب پیچ نسبت به کابین از تفاضل دو شتاب به دست می‌آید: a_rel = a_object − a_elevator = −10 − 2 = −12 m/s².

علامت منفی یعنی پیچ نسبت به کابین رو به پایین شتاب می‌گیرد. اندازه شتاب نسبی 12 m/s² است، نه 10 و نه 8. کفِ شتاب‌گیر رو به بالا به استقبال جسم می‌آید؛ بنابراین فاصله سقف تا کف سریع‌تر از حالتی بسته می‌شود که کابین شتاب صفر دارد.

می‌توان همین نتیجه را در چارچوب شتاب‌دار کابین با گرانش مؤثر رو به پایین و اندازه g_eff = g + a نوشت. این میان‌بُر زمانی معتبر است که شتاب کابین ثابت باشد و علامت آن را از جهت شتاب، نه جهت سرعت، تعیین کرده باشیم.

زمان و سرعت برخورد با کف را مرحله‌به‌مرحله حساب کن

مبدأ نسبی را محل پیچ روی سقف و جهت مثبت نسبی را رو به پایین می‌گیریم. پیچ باید فاصله h = 3.6 m را با سرعت نسبی اولیه صفر و شتاب نسبی 12 m/s² طی کند. از رابطه Δy_rel = v_rel,0 t + ½a_rel t² داریم 3.6 = 0 + ½(12)t².

پس t² = 3.6/6 = 0.60 s² و t = √0.60 ≈ 0.775 s. ریشه منفی معادله درجه‌دو به زمان پیش از رهاسازی مربوط است و در بازه مسئله پذیرفته نمی‌شود. واحد زیر رادیکال نیز درست است: m ÷ (m/s²) = s².

سرعت نسبی برخورد از v_rel = v_rel,0 + a_rel t به دست می‌آید. با جهت پایینِ مثبت، v_rel = 12×0.775 ≈ 9.30 m/s رو به پایین است. بنابراین تندی برخورد نسبت به کف 9.30 m/s است؛ اگر بالا را مثبت نگه می‌داشتیم، همین سرعت با علامت −9.30 m/s گزارش می‌شد.

• زمان برخورد: t ≈ 0.775 s
• سرعت نسبی برخورد: 9.30 m/s رو به پایین
• واحد زمان: s
• واحد سرعت: m/s

جواب را یک بار در چارچوب زمین بازسازی کن

برای کنترل مستقل، مبدأ مکان را کف کابین در لحظه رهاشدن و بالا را مثبت می‌گیریم. مکان آغاز پیچ 3.6 m و سرعت آغاز هر دو 4 m/s است. پس مکان پیچ y_object = 3.6 + 4t − 5t² و مکان کف y_floor = 4t + ½(2)t² = 4t + t² می‌شود.

در برخورد دو مکان برابرند: 3.6 + 4t − 5t² = 4t + t². جمله‌های 4t حذف می‌شوند و 3.6 = 6t² دوباره t² = 0.60 s² می‌دهد. این حذف نشان می‌دهد سرعت مشترک اولیه روی زمان برخورد داخلی اثر ندارد.

در t ≈ 0.775 s سرعت پیچ نسبت به زمین 4 − 10t ≈ −3.75 m/s و سرعت کف 4 + 2t ≈ 5.55 m/s است. تفاضل v_object − v_floor ≈ −9.30 m/s می‌شود؛ اندازه و جهت آن با حل نسبی سازگار است.

علامت و معقول‌بودن جواب را با حالت‌های حدی کنترل کن

اگر شتاب آسانسور صفر شود، رابطه به t = √(2h/g) برمی‌گردد. برای همین ارتفاع، زمان حدود 0.849 s است؛ شتاب رو به بالای کابین باید زمان را کمتر کند و جواب 0.775 s همین روند را دارد. همچنین 12 m/s² بزرگ‌تر از g است، چون جسم و کف با شتاب‌هایی در جهت‌های مخالف از دید نسبی به هم نزدیک می‌شوند.

اگر آسانسور با شتابی به اندازه a < g رو به پایین باشد، اندازه شتاب نسبی رو به پایین g − a است و زمان برخورد بیشتر می‌شود. در حالت حدی سقوط آزاد کابین، a = g رو به پایین و شتاب نسبی صفر است؛ جسمی که بدون سرعت نسبی جدا شده، در مدل آرمانی فاصله‌اش از کف ثابت می‌ماند و نباید برای آن زمان برخورد متناهی ساخت.

این کنترل همچنین نشان می‌دهد عبارت «آسانسور رو به پایین حرکت می‌کند» کافی نیست. ممکن است آسانسور رو به پایین باشد اما کند شود و شتابش رو به بالا باشد؛ در آن حالت همچنان باید g + a را به کار برد.

خطاهای رایج افتادن جسم از سقف آسانسور را حذف کن

خطای نخست، استفاده خودکار از t = √(2h/g) است؛ این رابطه کف را ساکن فرض می‌کند. خطای دوم، نوشتن g − a فقط به دلیل اینکه جسم پایین می‌افتد؛ علامت درست از شتاب کابین می‌آید. برای کابین با شتاب رو به بالا، شتاب نسبی g + a است.

خطای سوم، صفرگرفتن سرعت پیچ نسبت به زمین در لحظه جدایی است. سرعت آن نسبت به کابین صفر است، اما نسبت به زمین همان 4 m/s رو به بالای آسانسور را دارد. خطای چهارم، گزارش سرعت زمینی پیچ به‌جای سرعت برخورد نسبت به کف است؛ در این مثال دو عدد −3.75 m/s و −9.30 m/s پاسخ دو پرسش متفاوت‌اند.

برای ادامه، راهنمای وزن ظاهری در آسانسور اثر شتاب را بر نیروی تماس توضیح می‌دهد؛ مقاله سقوط آزاد قرارداد علامت حرکت قائم را تمرین می‌کند و مسئله رهاشدن جسم از بالون نشان می‌دهد سرعت مشترک لحظه جدایی چگونه وارد حرکت نسبت به زمین می‌شود.

• چارچوب مرجع را کنار داده‌ها بنویس.
• جهت شتاب را از تغییر سرعت تشخیص بده.
• سرعت زمینی و سرعت نسبی را با برچسب جدا نگه دار.
• حالت a = 0 و سقوط آزاد کابین را کنترل کن.

منابع علمی

• OpenStax University Physics Volume 1 — Free Fall
• OpenStax University Physics Volume 1 — Relative Motion in One and Two Dimensions
• OpenStax University Physics Volume 1 — Solving Problems with Newton’s Laws