در انتخابگر سرعت، میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی بر ذره باردار دو نیروی مخالف وارد میکنند. ذره فقط وقتی بدون انحراف از ناحیه میگذرد که اندازه این نیروها برابر باشد: |q|E = |q|vB. اگر سرعت بر میدان مغناطیسی عمود باشد، سرعت انتخابشده v = E/B است. علامت بار در مقدار این سرعت اثری ندارد، اما جهت هر دو نیرو را همزمان عوض میکند؛ بنابراین جهت میدانها و علامت بار را باید جدا از محاسبه اندازه بررسی کرد.
سازوکار انتخابگر سرعت را با دو نیروی مخالف ببین
ذرهای با بار q در میدان الکتریکی E نیروی F_E = qE میگیرد. اندازه این نیرو |q|E است و به سرعت ذره وابسته نیست. میدان مغناطیسی نیز بر ذره متحرک نیروی F_B = q(v × B) وارد میکند؛ وقتی v بر B عمود باشد، اندازه آن |q|vB است و با سرعت تغییر میکند.
در چیدمان انتخابگر، E و B و جهت حرکت ذره سه راستای عمود بر هم دارند. میدانها طوری قرار میگیرند که نیروهای الکتریکی و مغناطیسی خلاف جهت یکدیگر باشند. ذرهای با یک سرعت مشخص تعادل عرضی پیدا میکند و مستقیم میرود؛ ذرههای کندتر یا تندتر به یکی از دو سمت منحرف میشوند.
- نیروی الکتریکی به v وابسته نیست.
- نیروی مغناطیسی در این چیدمان با v متناسب است.
- عبور مستقیم یعنی شتاب عرضی صفر، نه اینکه هیچ نیرویی وجود ندارد.
سرعت انتخابشده را از شرط برآیند صفر به دست آور
برای مسیر مستقیم و سرعت ثابت، برآیند نیرو در راستای عمود بر حرکت باید صفر باشد. چون دو نیرو مخالفاند، اندازه آنها را برابر میگذاریم: |q|E = |q|vB. با حذف |q|، رابطه v = E/B به دست میآید. واحد نیز سازگار است: (N/C)/T برابر m/s میشود.
حذف بار به این معناست که همه ذرهها، مستقل از اندازه و علامت بار، در سرعت E/B میتوانند بدون انحراف عبور کنند؛ البته جهت ورود و آرایش میدانها باید همان باشد. جرم هم در شرط تعادل ظاهر نمیشود، زیرا برای مسیر مستقیم شتاب عرضی صفر است.
جهت دو نیرو را بدون حدسزدن تعیین کن
برای بار مثبت، نیروی الکتریکی همجهت میدان E است و برای بار منفی خلاف آن. جهت v × B را برای بار مثبت با قاعده دست راست پیدا کن: انگشتها را از v به سوی B خم کن و شست جهت نیرو را نشان میدهد. برای بار منفی، جهت بهدستآمده را وارونه کن.
یک کنترل سریع وجود دارد: با عوضشدن علامت بار، هم نیروی الکتریکی و هم نیروی مغناطیسی وارونه میشوند؛ پس اگر برای بار مثبت مخالف هم بودهاند، برای بار منفی نیز مخالف میمانند. اگر دو نیرو همجهت شدند، هیچ سرعت مثبتی آنها را خنثی نمیکند و باید جهت یکی از میدانها یا جهت ورود ذره تغییر کند.
مثال حلشده: محاسبه سرعت و تشخیص انحراف ذره کندتر
میدان الکتریکی یکنواختی با اندازه 3.0 × 10⁴ N/C و میدان مغناطیسی 0.20 T بر هم و بر سرعت ذره عمودند. میدانها طوری تنظیم شدهاند که یک ذره مثبت مستقیم عبور کند. سرعت این ذره را پیدا کن و بگو ذره مثبت با سرعت 1.0 × 10⁵ m/s به سمت نیروی الکتریکی منحرف میشود یا نیروی مغناطیسی.
از v = E/B داریم v = (3.0 × 10⁴)/(0.20) = 1.5 × 10⁵ m/s. این مقدار به بار و جرم ذره نیاز ندارد. برای ذره دوم، نیروی مغناطیسی نسبت به حالت تعادل کوچکتر است، زیرا سرعت 1.0 × 10⁵ m/s از سرعت انتخابشده کمتر است.
نیروی الکتریکی تغییر نکرده اما نیروی مغناطیسی کاهش یافته است؛ بنابراین برآیند همجهت نیروی الکتریکی میشود و ذره به همان سمت منحرف خواهد شد. برای سرعتی بیشتر از 1.5 × 10⁵ m/s، نتیجه برعکس است و نیروی مغناطیسی جهت انحراف را تعیین میکند.
اگر سرعت بر میدان مغناطیسی عمود نبود، عامل سینوس را نگه دار
رابطه F_B = |q|vB فقط برای زاویه 90 درجه میان v و B است. در حالت کلی F_B = |q|vB sinθ و شرط برابری اندازهها به E = vB sinθ تبدیل میشود. پس v = E/(B sinθ)، به شرط آنکه جهت نیروی مغناطیسی دقیقاً خلاف نیروی الکتریکی باشد.
در انتخابگر استاندارد θ = 90° و sinθ = 1 است. اگر سرعت مؤلفهای در راستای B داشته باشد، نیروی مغناطیسی روی آن مؤلفه اثری ندارد و ممکن است مسیر سهبعدی با مدل ساده عبور مستقیم سازگار نباشد. در تستهای معمول، عبارت «میدانهای متقاطع» و شکل دستگاه عمودبودن راستاها را نشان میدهد.
مسئله را با مسیر حل پنجگامی جمع کن
یک: جهت v، E و B و علامت بار را روی شکل علامت بزن. دو: جهت F_E را از qE و جهت F_B را از q(v × B) تعیین کن. سه: بررسی کن دو نیرو مخالفاند. چهار: برای عبور مستقیم ΣF = 0 بنویس و در حالت عمود از |q|E = |q|vB استفاده کن. پنج: مقدار v = E/B را با واحد m/s و جهت نیروها را جداگانه گزارش کن.
اگر سؤال جهت انحراف ذرهای با سرعت دیگر را خواست، لازم نیست هر دو نیرو را عددی حساب کنی. v را با E/B مقایسه کن: برای v کمتر، نیروی الکتریکی غالب است؛ برای v بیشتر، نیروی مغناطیسی غالب میشود. این مقایسه وقتی درست است که بار و میدانها ثابت باشند.
بدان انتخابگر سرعت چه چیزی را تعیین نمیکند
انتخابگر، ذرهها را بر اساس سرعت جدا میکند و از رابطه v = E/B نمیتوان جرم یا اندازه بار را یافت. برای تعیین نسبت جرم به بار، معمولاً ذره پس از خروج وارد ناحیهای با میدان مغناطیسی تنها میشود و شعاع مسیر دایرهای آن اندازهگیری میشود؛ آن مرحله مسئلهای جدا با رابطه r = mv/(|q|B) است.
همچنین میدان مغناطیسی روی ذره ساکن نیرو وارد نمیکند، ولی میدان الکتریکی وارد میکند؛ پس ذره ساکن در انتخابگر متعادل نمیماند. مقاله حرکت ذره باردار در میدان الکتریکی، اثر E را جداگانه توضیح میدهد و مقاله مسیر دایرهای ذره در میدان مغناطیسی ادامه طبیعی این بحث است.
چهار دام رایج انتخابگر سرعت را کنترل کن
اول، نیروهای مخالف را با نیروهای صفر اشتباه نگیر؛ هر دو نیرو میتوانند نامساوی صفر و برآیندشان صفر باشد. دوم، در رابطه سرعت نسبت را وارونه ننویس؛ از E = vB روشن است که v = E/B. سوم، علامت منفی بار را وارد اندازه سرعت نکن؛ سرعت انتخابشده نامنفی است و علامت بار فقط جهت نیروها را تغییر میدهد. چهارم، اگر v و B عمود نیستند، sinθ را حذف نکن.
برای کنترل نهایی، افزایش E باید سرعت انتخابشده را زیاد و افزایش B آن را کم کند. اگر پاسخ با این تناسب یا با واحد m/s سازگار نیست، نسبت میدانها یا تبدیل پیشوندها را دوباره بررسی کن.
برای حل انتخابگر سرعت، ابتدا مطمئن شو سرعت، میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی بر هم عمودند. سپس نیروی الکتریکی را در راستای E برای بار مثبت و خلاف آن برای بار منفی رسم کن و جهت نیروی مغناطیسی را از q(v × B) به دست آور. عبور مستقیم یعنی برآیند نیرو صفر است؛ پس |q|E = |q|vB و v = E/B. جرم و اندازه بار حذف میشوند، اما این نتیجه فقط سرعت را انتخاب میکند و بهتنهایی نوع یا جرم ذره را مشخص نمیکند.