پاسخ مستقیم این است: اختلاف فشار داخل و بیرون یک سطح کروی با شعاع r و کشش سطحی γ برابر ΔP = P_in − P_out = 2γ/r است. قطره مایع در هوا و حباب هوا درون مایع هرکدام فقط یک مرز مایع–گاز دارند، پس همین رابطه را میگیرند؛ اما پوسته نازک حباب صابون دو سطح، یکی داخلی و یکی خارجی، دارد و برای آن ΔP = 4γ/r است. پیش از جایگذاری فقط سه چیز را روشن کن: جسم یک سطح دارد یا دو سطح، عدد دادهشده شعاع است یا قطر، و سؤال اختلاف فشار میخواهد یا فشار مطلق داخل.
اختلاف فشار را از فشار مطلق جدا کن
کشش سطحی میکوشد مساحت سطح را کم کند و سطح خمیده را جمعتر نگه دارد. برای تعادل، فشار سمت مقعرِ سطح باید از فشار سمت دیگر بیشتر باشد. در قطره یا حباب کروی، بنابراین P_in > P_out و تعریف مناسب ΔP = P_in − P_out است.
رابطه کشش سطحی مستقیماً ΔP را میدهد، نه P_in را. اگر فشار بیرون P_out معلوم باشد، فشار داخل از P_in = P_out + ΔP به دست میآید. اگر جسم در عمق مایع باشد، P_out فشار همان نقطه از مایع است و میتواند شامل فشار سطح آزاد و جمله ρgh باشد؛ فشار جو را نباید بدون توجه به صورت سؤال دوباره اضافه کرد.
- ΔP = P_in − P_out
- فشار مطلق داخل: P_in = P_out + ΔP
- برای جسم غوطهور، P_out فشار مایع در محل جسم است
با شمارش مرزها ضریب ۲ یا ۴ را انتخاب کن
قطره آب در هوا یک سطح مشترک آب–هوا دارد. حباب هوا درون آب نیز فقط یک سطح مشترک هوا–آب دارد؛ جابهجاشدن جای گاز و مایع تعداد سطحها را عوض نمیکند. برای هر دو، ΔP = 2γ/r است، به شرط آنکه γ کشش سطحی همان مرز باشد.
حباب صابون یک پوسته مایع نازک است که در دو سوی آن گاز قرار دارد. پوسته یک سطح داخلی و یک سطح خارجی دارد و هر دو در جمعشدن حباب سهم دارند؛ در مدل پوسته بسیار نازک که شعاع دو سطح تقریباً یکسان است، ΔP = 4γ/r. پس واژه «حباب» بهتنهایی برای انتخاب ضریب کافی نیست؛ باید ببینی حباب گاز در مایع است یا پوسته آزاد صابونی.
- قطره مایع در گاز: یک سطح، 2γ/r
- حباب گاز در مایع: یک سطح، 2γ/r
- حباب صابون: دو سطح، 4γ/r
رابطه یک سطح را با تعادل نیمکره بساز
یک قطره کروی را فرض کن که از وسط بریدهایم. نیروی ناشی از اختلاف فشار روی سطح مقطع دایرهای برابر ΔP×πr² است. کشش سطحی روی محیط دایره، یعنی 2πr، وارد میشود و نیروی جمعکننده آن 2πrγ است.
در تعادل، ΔPπr² = 2πrγ؛ با سادهکردن، ΔP = 2γ/r به دست میآید. در حباب صابون دو سطح در امتداد محیط داریم، پس نیروی کشش دو برابر و نتیجه ΔP = 4γ/r میشود. این استدلال نشان میدهد عامل چهار از دو سطح میآید، نه از قطر یا حجم حباب.
مثال حلشده: مقایسه قطره آب و حباب صابون هماندازه
یک قطره آب و یک حباب صابون هر دو شعاع 2.0 mm دارند. اگر کشش سطحی هر دو را برای این تمرین γ = 0.030 N/m بگیریم، اختلاف فشار داخل و بیرون هرکدام را محاسبه کن.
ابتدا شعاع را به متر میبریم: r = 2.0×10⁻³ m. قطره یک سطح دارد، پس ΔP_drop = 2γ/r = (2×0.030)/(2.0×10⁻³) = 30 Pa. حباب صابون دو سطح دارد، پس ΔP_soap = 4γ/r = 60 Pa.
حباب صابون در این دادههای یکسان دو برابر قطره اختلاف فشار دارد. اگر فشار بیرون 1.00×10⁵ Pa باشد، فشار مطلق داخل حباب 100060 Pa است، نه 60 Pa. عدد 60 پاسکال فقط افزایش فشار نسبت به بیرون را نشان میدهد.
اثر شعاع را بدون محاسبه مقایسه کن
در دما و جنس سطح یکسان، γ ثابت فرض میشود و ΔP با 1/r متناسب است. بنابراین قطره کوچکتر اختلاف فشار بیشتری دارد. برای مثال اگر شعاع یک قطره نصف شود، اختلاف فشار آن دو برابر میشود؛ استفاده از قطر بهجای شعاع پاسخ را نصف مقدار درست میکند.
اگر دو حباب صابون با شعاعهای متفاوت به هم راه داشته باشند، فشار داخل حباب کوچکتر بیشتر است. در مدل آرمانی، هوا از حباب کوچکتر به بزرگتر میرود. برای این نتیجه لازم نیست فشار جو را بدانیم، زیرا فشار بیرون مشترک است و مقایسه فقط به 4γ/r وابسته میشود.
مسئله را در پنج گام حل کن
یک: نوع جسم را مشخص کن؛ قطره، حباب گاز در مایع یا حباب صابون. دو: مرزهای مایع–گاز را بشمار و ضریب ۲ یا ۴ را انتخاب کن. سه: قطر را در صورت نیاز نصف و شعاع را به متر تبدیل کن. چهار: ΔP را حساب کن. پنج: فقط اگر فشار مطلق داخل خواسته شده، P_out را به آن بیفزا.
اگر حباب در عمق h مایع است، نخست فشار بیرون را مطابق دادههای مسئله بساز؛ مثلاً برای ظرف باز P_out = P_atm + ρgh. سپس فشار داخل برابر P_in = P_out + 2γ/r است. جمله هیدروستاتیکی و جمله کشش سطحی دو اثر جدا هستند و نباید یکی را جای دیگری گذاشت.
دامهای رایج ضریب، شعاع و واحد را کنترل کن
سه خطای اصلی عبارتاند از: دادن ضریب ۴ به هر چیزی که نام حباب دارد، واردکردن قطر بهجای شعاع و گزارش ΔP بهعنوان فشار مطلق. همچنین γ باید بر حسب N/m و r بر حسب m باشد تا پاسخ پاسکال شود؛ چون (N/m)/m = N/m² = Pa.
برای کنترل نهایی، ΔP باید مثبت باشد و با افزایش شعاع کاهش یابد. در دادههای یکسان، حباب صابون باید دو برابر جسم تکسطحی اختلاف فشار داشته باشد. راهنمای کشش سطحی و مویینگی معنای γ و نیروی وارد بر خط تماس را تکمیل میکند و مقاله فشار هیدروستاتیکی برای ساختن P_out در عمق کاربرد دارد.
برای اختلاف فشار یک جسم کروی ناشی از کشش سطحی، ابتدا مرزهای مایع–گاز را بشمار. یک سطح برای قطره مایع یا حباب گاز در مایع، ΔP = 2γ/r میدهد؛ دو سطحِ پوسته صابونی، ΔP = 4γ/r. شعاع را به متر تبدیل کن و در پایان اگر فشار مطلق خواسته شد، فشار بیرون را به ΔP بیفزا. کوچکترشدن شعاع اختلاف فشار را بیشتر میکند و همین کنترل تناسب، بسیاری از خطاهای ضریب، قطر و واحد را آشکار میسازد.