دوقطبی الکتریکی از دو بار هماندازه و ناهمنام با فاصله ثابت ساخته میشود. بردار گشتاور دوقطبی p از بار منفی به بار مثبت است و اندازه آن p = qd به دست میآید. اگر این بردار با میدان الکتریکی یکنواخت زاویه θ بسازد، برآیند نیروها صفر اما گشتاور معمولاً ناصفر است: τ = pE sinθ. انرژی پتانسیل نیز U = −pE cosθ است. پس برای حل سؤال ابتدا جهت p و زاویه آن با E را تعیین کن، سپس بسته به خواسته از رابطه گشتاور، انرژی یا کار میدان استفاده کن.
بردار گشتاور دوقطبی را از منفی به مثبت رسم کن
دو بار +q و −q را که فاصله میان آنها d است در نظر بگیر. اندازه گشتاور دوقطبی برابر p = qd و یکای آن کولنمتر (C·m) است. جهت p روی خط واصل بارها و از بار منفی به بار مثبت انتخاب میشود. این جهت قراردادی را با جهت میدانِ ساختهشده بهوسیله خود دوقطبی اشتباه نکن.
در رابطه p = qd، مقدار مثبت q یعنی اندازه هر یک از دو بار و d فاصله مستقیم میان دو بار است. اگر فاصله هر بار تا مرکز را a داده باشند، فاصله دو بار d = 2a خواهد بود؛ جاگذاری a بهجای d یکی از خطاهای رایج مسئلههای عددی است.
- اندازه: p = qd
- جهت: از −q به +q
- یکای SI: C·m
نیروهای دو بار را به یک زوج نیرو تبدیل کن
در میدان یکنواخت E، بر بار مثبت نیروی qE همجهت میدان و بر بار منفی نیروی qE خلاف میدان وارد میشود. این دو نیرو اندازه برابر و جهت مخالف دارند، پس جمع برداری آنها صفر است. صفرشدن نیروی خالص به معنی سکون قطعی نیست؛ اگر خط اثر نیروها یکی نباشد، دوقطبی تمایل به چرخش دارد.
اگر زاویه میان p و E برابر θ باشد، اندازه گشتاور حول مرکز دوقطبی τ = pE sinθ است. بردار گشتاور از رابطه τ⃗ = p⃗ × E⃗ به دست میآید. برای تعیین جهت چرخش در شکل دوبعدی، میتوانی جهت نیروی وارد بر +q را رسم کنی و ببینی سر مثبت دوقطبی به کدام سو حرکت میکند.
تعادل پایدار و ناپایدار را با انرژی تشخیص بده
گشتاور در θ = 0° و θ = 180° صفر است، اما نوع این دو تعادل یکسان نیست. در حالت همجهت، θ = 0°، یک چرخش کوچک گشتاوری ایجاد میکند که دوقطبی را به حالت اول برمیگرداند؛ پس تعادل پایدار است. در حالت خلافجهت، θ = 180°، اغتشاش کوچک دوقطبی را از وضعیت اولیه دور میکند و تعادل ناپایدار است.
رابطه U = −pE cosθ همین نتیجه را نشان میدهد. انرژی در θ = 0° برابر −pE و کمینه است، در θ = 90° صفر و در θ = 180° برابر +pE و بیشینه است. علامت منفی را حذف نکن: دوقطبی آزاد تمایل دارد به سوی انرژی کمتر، یعنی همجهتشدن با میدان، بچرخد.
- θ = 0°: گشتاور صفر، انرژی کمینه، تعادل پایدار
- θ = 90°: گشتاور بیشینه، انرژی صفر
- θ = 180°: گشتاور صفر، انرژی بیشینه، تعادل ناپایدار
کار میدان را از تغییر انرژی پتانسیل به دست آور
برای چرخش دوقطبی از زاویه θ1 به θ2، انرژی ابتدا و انتها را جدا بنویس: U1 = −pE cosθ1 و U2 = −pE cosθ2. سپس ΔU = U2 − U1 و کار نیروی میدان Wfield = −ΔU است. بنابراین Wfield = pE(cosθ2 − cosθ1) میشود.
اگر عامل خارجی دوقطبی را بسیار آرام بچرخاند تا انرژی جنبشی آن تغییر نکند، کار عامل خارجی برابر ΔU است. پس در یک جابهجایی زاویهای مشخص، کار میدان و کار عامل خارجی علامت مخالف دارند. این تمایز همان رابطه عمومی کار نیروی الکتریکی و انرژی پتانسیل است که در راهنمای مرتبط سایت با جزئیات بیشتری آمده است.
مثال حلشده: گشتاور و کار دوقطبی هنگام چرخش
دوقطبیای شامل بارهای ±2.0 μC با فاصله 4.0 cm در میدان یکنواخت 3.0×10⁴ N/C قرار دارد. بردار p ابتدا با میدان زاویه 60° میسازد. نخست واحدها را تبدیل میکنیم: q = 2.0×10⁻⁶ C و d = 4.0×10⁻² m؛ پس p = qd = 8.0×10⁻⁸ C·m.
اندازه گشتاور در زاویه 60° برابر τ = pE sin60° است: τ = (8.0×10⁻⁸)(3.0×10⁴)(0.866) ≈ 2.1×10⁻³ N·m. جهت گشتاور طوری است که زاویه میان p و E را کاهش دهد.
اگر دوقطبی آزاد شود و از 60° به 0° برسد، کار میدان برابر pE(cos0° − cos60°) است. چون pE = 2.4×10⁻³ J، داریم Wfield = 2.4×10⁻³(1 − 0.5) = 1.2×10⁻³ J. کار مثبت میدان با کاهش انرژی پتانسیل از −1.2×10⁻³ J به −2.4×10⁻³ J سازگار است.
مسئله دوقطبی را در پنج گام حل کن
یک: بارها و جهت میدان را روی شکل مشخص کن. دو: بردار p را از بار منفی به مثبت رسم و θ را میان p و E پیدا کن. سه: با فاصله کامل دو بار، p = qd را بنویس. چهار: برای گشتاور از pE sinθ و برای انرژی از −pE cosθ استفاده کن. پنج: اگر چرخش مطرح است، مقدار ابتدا و انتها را جدا حساب و علامت کار را کنترل کن.
در سؤال مفهومی پیش از محاسبه سه حالت مرجع را بررسی کن: گشتاور در 0 و 180 درجه صفر و در 90 درجه بیشینه است؛ انرژی برعکس، در 0 درجه کمینه و در 180 درجه بیشینه است. اگر سؤال به نیروی وارد بر یک بار یا برآیند چند بار برگردد، راهنمای قانون کولن و برآیند نیروها مسیر مناسبتری برای ادامه است.
نتیجه میدان یکنواخت را به میدان غیریکنواخت تعمیم نده
صفرشدن نیروی خالص به یکنواختبودن میدان وابسته است. اگر اندازه یا جهت میدان در محل دو بار متفاوت باشد، نیروهای +q و −q لزوماً همدیگر را خنثی نمیکنند و علاوه بر گشتاور، نیروی خالص نیز ممکن است وجود داشته باشد. پس پیش از نوشتن Fnet = 0، عبارت «میدان یکنواخت» یا قرینهبودن مناسب میدان را در صورت سؤال بررسی کن.
رابطههای τ = pE sinθ و U = −pE cosθ برای دوقطبی ایدئال در میدان یکنواخت نوشته میشوند. در مسئله دبیرستانی که ابعاد دوقطبی در مقایسه با تغییرات مکانی میدان کوچک فرض شده، همین مدل به کار میرود؛ اما وجود گرادیان میدان میتواند رفتار انتقالی دوقطبی را نیز مهم کند.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن
خطای اول، رسم p از مثبت به منفی است. خطای دوم، استفاده از فاصله یک بار تا مرکز بهجای فاصله کامل دو بار در p = qd است. خطای سوم، یکیگرفتن زاویه خط دوقطبی با محور دیگری بهجای زاویه میان p و E است. خطای چهارم، نتیجهگیری تعادل پایدار فقط از τ = 0 است؛ برای پایداری باید رفتار پس از چرخش کوچک یا کمینهبودن انرژی را بررسی کنی.
در کنترل نهایی، pE باید هم یکای انرژی و هم یکای گشتاور داشته باشد، چون N·m و J از نظر ابعادی یکساناند؛ البته برای گشتاور معمولاً N·m و برای انرژی J مینویسیم تا معنای فیزیکی روشن بماند. همچنین کار مثبت میدان باید با کاهش انرژی پتانسیل همراه باشد.
در میدان الکتریکی یکنواخت، دو نیروی برابر و مخالف بر بارهای دوقطبی وارد میشوند؛ بنابراین نیروی خالص صفر است، اما این دو نیرو میتوانند زوج نیرو و گشتاور τ = pE sinθ بسازند. حالت همجهت با میدان کمینه انرژی و تعادل پایدار دارد و حالت خلافجهت بیشینه انرژی و تعادل ناپایدار است. برای جابهجایی زاویهای از θ1 به θ2، ابتدا ΔU = U2 − U1 را حساب کن و سپس کار میدان را Wfield = −ΔU بنویس. جهت بردار p، زاویه درست و واحدها سه کنترل اصلی پاسخاند.