برای حل دو جسم روی هم با اصطکاک، نخست فرض کن دو جسم هنوز نسبت به هم نمی‌لغزند؛ در این حالت شتاب مشترک دستگاه را از نیروی خارجی تقسیم بر جرم کل به دست آور. سپس یکی از جسم‌ها، معمولاً جسمی را که فقط اصطکاک در راستای افقی به آن نیرو وارد می‌کند، جدا کن و اصطکاک لازم را از f = ma حساب کن. اگر f لازم از μsN بیشتر نباشد، فرض شتاب مشترک درست است؛ در مرز لغزش f = μsN می‌شود. محل اعمال نیرو مهم است: کشیدن جسم پایینی و کشیدن جسم بالایی به دو اصطکاک لازم و دو نیروی بیشینه متفاوت می‌انجامد.
جهت اصطکاک را از تمایل به لغزش نسبی پیدا کن
اصطکاک ایستایی الزاماً خلاف جهت حرکت دستگاه نیست؛ خلاف تمایل دو سطح به لغزش نسبت به یکدیگر است. اگر F به جسم پایینی و به سمت راست وارد شود، جسم پایین می‌خواهد از زیر جسم بالا جلو برود. اصطکاک روی جسم بالا به راست است تا آن را شتاب دهد و طبق قانون سوم نیوتن، اصطکاک روی جسم پایین هم‌اندازه و به چپ خواهد بود.
اگر همان نیرو به جسم بالایی وارد شود، جسم بالا تمایل دارد روی جسم پایین به راست سر بخورد. این بار اصطکاک روی جسم بالا به چپ و روی جسم پایین به راست است. دو نیروی اصطکاکِ تماس یک جفت کنش و واکنش‌اند: اندازه برابر و جهت مخالف دارند، اما بر دو جسم متفاوت وارد می‌شوند و نباید آن‌ها را روی یک نمودار جسم آزاد رسم کرد.
وقتی نیرو به جسم پایینی وارد می‌شود، بیشینه نیرو را بساز
تا وقتی لغزش نداریم، شتاب مشترک a = F/(M + m) است. تنها نیروی افقی وارد بر جسم بالایی اصطکاک است؛ پس f = ma = mF/(M + m). این مقدار، اصطکاک لازم است و ممکن است از بیشینه اصطکاک ایستایی کمتر باشد.
شرط نلغزیدن mF/(M + m) ≤ μsmg است. با حذف m به F ≤ μs(M + m)g می‌رسیم. بنابراین وقتی نیرو به جسم پایینی وارد می‌شود، بیشینه نیروی مجاز برابر Fmax = μs(M + m)g است. در مرز این نیرو، جسم بالا درست در آستانه عقب‌ماندن و لغزش به چپ نسبت به جسم پایین قرار دارد.
- شتاب مشترک: a = F/(M + m)
- اصطکاک لازم روی جسم بالا: f = mF/(M + m)
- بیشینه نیرو بر جسم پایین: Fmax = μs(M + m)g
مثال حل‌شده: نیروی وارد بر جسم پایینی
جسمی با جرم m = 2 kg روی جسمی با جرم M = 6 kg قرار دارد. سطح زیرین صاف، ضریب اصطکاک ایستایی میان دو جسم μs = 0.40 و g = 10 m/s² است. ابتدا F = 24 N به جسم پایینی وارد می‌شود. آیا دو جسم با هم حرکت می‌کنند و اصطکاک واقعی چقدر است؟
با فرض عدم لغزش، a = 24/(6 + 2) = 3 m/s². جسم بالایی برای این شتاب به f = ma = 2×3 = 6 N اصطکاک رو به راست نیاز دارد. بیشینه اصطکاک ایستایی fs,max = μsmg = 0.40×2×10 = 8 N است. چون 6 ≤ 8، فرض عدم لغزش درست است؛ هر دو جسم شتاب 3 m/s² دارند و اصطکاک واقعی 6 N است، نه 8 N.
بیشینه نیرویی که هنوز لغزش ایجاد نمی‌کند Fmax = 0.40×(6 + 2)×10 = 32 N است. پس نیروی 24 نیوتونی مجاز است، در F = 32 N جسم بالا در آستانه لغزش قرار می‌گیرد و برای F بزرگ‌تر از آن دیگر نمی‌توان شتاب مشترک را فرض کرد.
وقتی نیرو به جسم بالایی وارد می‌شود، نتیجه را عوض کن
شتاب مشترک دستگاه همچنان a = F/(M + m) است، اما اکنون تنها نیروی افقی وارد بر جسم پایینی اصطکاک رو به راست است. پس f = Ma = MF/(M + m). شرط عدم لغزش MF/(M + m) ≤ μsmg می‌شود و در نتیجه Fmax = μsm(M + m)g/M.
برای همان m = 2 kg، M = 6 kg و μs = 0.40، بیشینه نیرو بر جسم بالایی حدود 10.7 N است؛ بسیار کمتر از 32 N حالت قبل. علت این تفاوت آن است که اصطکاک محدودِ تماس باید جسم سنگین‌ترِ پایینی را شتاب دهد. حفظ‌کردن یک فرمول بدون توجه به محل پیکان F، این تفاوت مهم را از بین می‌برد.
- اصطکاک لازم برای جسم پایین: f = MF/(M + m)
- بیشینه نیرو بر جسم بالا: Fmax = μsm(M + m)g/M
- فرمول دو آرایش را با یکدیگر جابه‌جا نکن.
پس از شروع لغزش، دو شتاب جداگانه بنویس
اگر F از حد به‌دست‌آمده بزرگ‌تر شود، دو جسم دیگر شتاب مشترک ندارند. در این مرحله باید ضریب اصطکاک جنبشی μk داده شده باشد و اندازه اصطکاک به fk = μkN = μkmg تغییر کند. سپس برای جسم بالا و پایین دو معادله مستقل قانون دوم نیوتن می‌نویسیم.
برای نمونه، اگر نیرو به جسم پایینی وارد شود، شتاب جسم بالا a_top = fk/m = μkg و شتاب جسم پایین a_bottom = (F − fk)/M است. اگر a_bottom از a_top بیشتر باشد، جسم پایین زیر جسم بالا جلو می‌رود. استفاده از fs,max پس از لغزش یا ادامه‌دادن رابطه a = F/(M + m) در این مرحله نادرست است.
چک‌لیست حل تست دو بلوک را اجرا کن
یک: مشخص کن نیرو به کدام جسم وارد می‌شود و سطح زیرین صاف است یا زبر. دو: با فرض عدم لغزش، کل دستگاه را بگیر و شتاب مشترک را پیدا کن. سه: جسمی را جدا کن که یافتن اصطکاک روی آن ساده‌تر است. چهار: از f لازم = ma استفاده کن. پنج: مقدار لازم را با μsN مقایسه کن. شش: فقط در آستانه لغزش برابری بنویس. هفت: اگر لغزش رخ داد، μk و دو شتاب جدا را به کار ببر.
سه دام رایج عبارت‌اند از قرار دادن همیشگی f = μsN، رسم اصطکاک دو جسم در یک جهت و استفاده از جرم کل در معادله جسم منفرد. برای مرور تفاوت اصطکاک ایستایی و جنبشی، راهنمای اصطکاک را بخوان؛ مقاله نمودار جسم آزاد جداسازی نیروهای هر جسم را تمرین می‌دهد و راهنمای کشیدن یا هل‌دادن جسم اثر جهت نیروی خارجی بر نیروی عمودی و اصطکاک را کامل می‌کند.
- محل اعمال F را روی شکل علامت بزن.
- اصطکاک لازم را حساب کن، نه اینکه از ابتدا بیشینه بگیری.
- جهت اصطکاک را از تمایل لغزش نسبی تعیین کن.
- پس از لغزش، برای هر جسم شتاب مستقل بنویس.
- واحد نیرو نیوتون و واحد شتاب m/s² است.
در مسئله دو جسم روی هم، ابتدا دستگاه کامل را برای یافتن شتاب مشترک و سپس هر جسم را جداگانه برای یافتن اصطکاک لازم بررسی کن. اصطکاک ایستایی را از آغاز برابر μsN نگیر؛ شرط درست f لازم ≤ μsN است و فقط در آستانه لغزش برابری داریم. اگر نیرو به جسم پایینی وارد شود، اصطکاک جسم بالا را همراه دستگاه شتاب می‌دهد؛ اگر نیرو به جسم بالایی وارد شود، اصطکاک جسم پایین را می‌کشد و جهتش روی دو جسم عوض می‌شود. پس از شروع لغزش نیز μs را کنار بگذار، از اصطکاک جنبشی استفاده کن و برای هر جسم شتاب جدا بنویس.