برای محاسبه مسافت طی شده در ثانیه nام، مکان انتهای ثانیه n را از مکان انتهای ثانیه n−1 کم کن: Δxₙ = x(n) − x(n−1). در حرکت یک‌بعدی با شتاب ثابت و بازه‌های یک‌ثانیه‌ای، این تفاضل به Δxₙ = v₀ + (a/2)(2n−1) می‌رسد. اما این خروجی در اصل جابه‌جایی است؛ فقط اگر جسم در آن یک ثانیه تغییر جهت ندهد، مسافت برابر |Δxₙ| خواهد بود. اگر سرعت داخل بازه صفر شود، بازه را در لحظه توقف بشکن و طول دو بخش را جمع کن.
ثانیه nام را به یک بازه زمانی دقیق ترجمه کن
«ثانیه nام» یک لحظه نیست؛ بازه‌ای از t = n−1 تا t = n ثانیه پس از آغاز زمان‌سنج است. برای نمونه، ثانیه پنجم بازه 4 تا 5 ثانیه است. بنابراین نباید مکان در t = 5 s را به‌جای مسافت همان ثانیه گزارش کرد؛ باید تغییر مکان میان دو سر این بازه را حساب کرد.
اگر زمان‌سنج از لحظه‌ای غیر از آغاز حرکت روشن شده باشد، مبدأ زمانی مسئله را همان لحظه بگیر و سرعت ابتدای آن را v₀ بنام. فرمول nام تنها وقتی مستقیم به کار می‌رود که شتاب در همه بازه‌های موردنظر ثابت و طول بازه‌ها دقیقاً یک ثانیه باشد.
- ثانیه اول: بازه 0 تا 1 s
- ثانیه دوم: بازه 1 تا 2 s
- ثانیه nام: بازه n−1 تا n s
مسافت طی شده در ثانیه nام را از معادله مکان استخراج کن
برای شتاب ثابت، تغییر مکان نسبت به لحظه صفر برابر x(t)−x₀ = v₀t + ½at² است. تغییر مکان در ثانیه nام از تفاضل دو مقدار پیاپی به دست می‌آید: Δxₙ = [v₀n + ½an²] − [v₀(n−1) + ½a(n−1)²].
با ساده‌سازی داریم Δxₙ = v₀ + (a/2)(2n−1). واحد جمله نخست m/s ضرب‌در بازه یک‌ثانیه‌ای و واحد جمله دوم نیز متر است؛ در این نوشتار عددِ یک ثانیه در رابطه فشرده شده است. برای بازه‌های مساوی با طول τ، رابطه کامل‌تر Δxₙ = v₀τ + (aτ²/2)(2n−1) است.
این نتیجه جابه‌جایی علامت‌دار است، نه همیشه مسافت. علامت مثبت یا منفی جهت جابه‌جایی را نسبت به محور انتخابی نشان می‌دهد. تبدیل بی‌فکر نتیجه به عدد مثبت نیز کافی نیست، زیرا ممکن است جسم وسط همان بازه برگردد و بخشی از مسیرها در جابه‌جایی یکدیگر را خنثی کنند.
- بازه یک‌ثانیه‌ای: Δxₙ = v₀ + (a/2)(2n−1)
- بازه با طول τ: Δxₙ = v₀τ + (aτ²/2)(2n−1)
- مسافت فقط در نبود تغییر جهت برابر |Δxₙ| است.
مثال حل‌شده: مسافت ثانیه پنجم بدون تغییر جهت
متحرکی روی محور x با سرعت اولیه v₀ = 4 m/s و شتاب ثابت a = 2 m/s² حرکت می‌کند. مسافت طی‌شده در ثانیه پنجم را بیاب. ثانیه پنجم همان بازه 4 تا 5 ثانیه است و n = 5 داریم.
از رابطه بازه‌ای، Δx₅ = 4 + (2/2)(2×5−1) = 4 + 9 = 13 m. برای کنترل با روش اصلی، x(5)−x₀ = 4×5 + ½×2×25 = 45 m و x(4)−x₀ = 4×4 + ½×2×16 = 32 m است؛ تفاضل 45−32 نیز 13 m می‌شود.
سرعت در دو سر بازه v(4) = 12 m/s و v(5) = 14 m/s است. هر دو مثبت‌اند، پس جسم در این بازه تغییر جهت نداده و مسافت با جابه‌جایی برابر 13 m است. همچنین سرعت متوسط بازه (12+14)/2 = 13 m/s و ضرب آن در 1 s همان پاسخ را بازسازی می‌کند.
اگر جسم در همان ثانیه تغییر جهت داد، بازه را دو قسمت کن
متحرکی با v₀ = 10 m/s و a = −4 m/s² حرکت می‌کند. در ثانیه سوم، یعنی بازه 2 تا 3 ثانیه، فرمول جابه‌جایی می‌دهد Δx₃ = 10 + (−4/2)(5) = 0. این صفر به معنی بی‌حرکت‌بودن یا مسافت صفر نیست.
سرعت ابتدا و انتهای بازه به‌ترتیب v(2) = 2 m/s و v(3) = −2 m/s است؛ تغییر علامت نشان می‌دهد جسم داخل بازه برگشته است. لحظه توقف از 0 = 10−4t به دست می‌آید: t* = 2.5 s. از 2 تا 2.5 ثانیه، سرعت متوسط (2+0)/2 = 1 m/s و مسافت 1×0.5 = 0.5 m است. از 2.5 تا 3 ثانیه نیز اندازه سرعت متوسط 1 m/s و مسافت 0.5 m می‌شود؛ پس مسافت کل 1 m است، هرچند جابه‌جایی صفر است.
همین دام در عبارت «مسافت طی‌شده در ثانیه آخر» نیز رخ می‌دهد. ابتدا زمان کل حرکت را پیدا کن، سپس بازه یک‌ثانیه‌ای پایانی را تعیین کن. اگر توقف یا تغییر جهت داخل آن افتاد، تفاضل مکان دو سر بازه فقط جابه‌جایی را می‌دهد و برای مسافت باید مسیر را بخش‌بندی کنی.
الگوی بازه‌های مساوی را به‌صورت دنباله حسابی بخوان
تا وقتی شتاب ثابت است، جابه‌جایی بازه‌های یک‌ثانیه‌ای پیاپی یک دنباله حسابی می‌سازد. از رابطه بالا، Δxₙ₊₁−Δxₙ = a است. یعنی جابه‌جایی هر ثانیه نسبت به ثانیه قبل به اندازه a متر تغییر می‌کند؛ این تساوی عددی به انتخاب بازه یک‌ثانیه‌ای وابسته است.
برای جسمی که از سکون با a = 10 m/s² در جهت مثبت حرکت می‌کند، جابه‌جایی ثانیه‌های اول تا سوم به‌ترتیب 5، 15 و 25 متر است. اختلاف‌های پیاپی 10 مترند. اگر طول هر بازه τ باشد، اختلاف جابه‌جایی دو بازه پیاپی aτ² خواهد بود.
دنباله جابه‌جایی‌ها می‌تواند از مثبت به منفی عبور کند؛ آن‌جا نباید دنباله علامت‌دار را مستقیماً دنباله مسافت‌ها نامید. نمودار سرعت–زمان تصویر مطمئن‌تری می‌دهد: جابه‌جایی مساحت علامت‌دار و مسافت مجموع قدرمطلق مساحت‌هاست.
مسافت طی شده در ثانیه nام را با حفظ یک فرمول جداگانه آغاز نکن؛ بازه [n−1,n] را مشخص و Δxₙ = x(n)−x(n−1) را بساز. برای شتاب ثابت، نتیجه v₀ + (a/2)(2n−1) جابه‌جایی آن ثانیه است. سرعت دو سر بازه را کنترل کن: اگر هم‌علامت‌اند، قدرمطلق جابه‌جایی همان مسافت است؛ اگر علامت عوض می‌شود، زمان توقف را پیدا کن و مسافت دو سوی آن را جدا جمع بزن. این کنترل از پاسخ صفر برای مسافتی که واقعاً غیرصفر است جلوگیری می‌کند.