در سیکلوترون، میدان الکتریکیِ شکاف میان دو محفظه Dشکل سرعت ذره باردار را زیاد میکند و میدان مغناطیسیِ عمود بر صفحه فقط مسیر آن را خم میکند. در مدل کلاسیک، شعاع هر نیمدایره r = mv/(|q|B)، بسامد لازم برای ولتاژ متناوب f = |q|B/(2πm) و بیشینه انرژی جنبشی در شعاع خروج R برابر K_max = q²B²R²/(2m) است. مستقلبودن بسامد از سرعت باعث میشود ذره در هر عبور از شکاف دوباره شتاب بگیرد؛ البته این نتیجه تا وقتی معتبر است که اثرهای نسبیتی ناچیز باشند.
نقش میدان الکتریکی و مغناطیسی را از هم جدا کن
دو محفظه رسانای Dشکل روبهروی هم قرار دارند و میدان مغناطیسی یکنواخت B بر صفحه آنها عمود است. درون هر محفظه رسانا، میدان الکتریکی تقریباً صفر است؛ پس ذره آنجا با تندی تقریباً ثابت روی یک نیمدایره حرکت میکند. نیروی مغناطیسی بر سرعت عمود است و کار انجام نمیدهد، بنابراین خودش انرژی جنبشی را افزایش نمیدهد.
میان دو محفظه شکاف باریکی وجود دارد. منبع ولتاژ متناوب در شکاف میدان الکتریکی میسازد و ذره هنگام عبور از آن انرژی میگیرد. در مدت پیمودن هر نیمدایره، قطبهای ولتاژ عوض میشوند تا میدان شکاف در عبور بعدی نیز ذره را به جلو براند. در نتیجه تندی و شعاع مسیر پلهپله زیاد میشوند و مسیر از بالا شبیه مارپیچی از نیمدایرههاست.
- در شکاف: میدان الکتریکی انرژی ذره را افزایش میدهد.
- درون محفظه: میدان مغناطیسی مسیر را خم میکند.
- با افزایش تندی، شعاع نیمدایرهها بزرگتر میشود.
شعاع و بسامد سیکلوترون را از نیروی مرکزگرا بساز
اگر سرعت ذره بر میدان مغناطیسی عمود باشد، اندازه نیروی مغناطیسی |q|vB است. با برابرگرفتن آن با نیروی مرکزگرا mv²/r داریم r = mv/(|q|B). بنابراین در B ثابت، هر بار که میدان الکتریکی تندی را افزایش میدهد، شعاع دور بعدی نیز بیشتر میشود.
دوره یک دور کامل T = 2πr/v است. با جایگذاری شعاع، T = 2πm/(|q|B) و در نتیجه f = 1/T = |q|B/(2πm) به دست میآید. حذفشدن v و r نکته کلیدی دستگاه است: در مدل غیرنسبیتی، زمان پیمودن هر نیمدایره ثابت و برابر T/2 میماند؛ پس بسامد منبع باید با همین f تنظیم شود.
- شعاع مسیر: r = mv/(|q|B)
- دوره گردش: T = 2πm/(|q|B)
- بسامد ولتاژ متناوب: f = |q|B/(2πm)
سرعت و انرژی خروجی را از شعاع نهایی پیدا کن
اگر بیشترین شعاع قابل استفاده محفظهها R باشد، ذره هنگام رسیدن به لبه خارج میشود. از رابطه شعاع، v_max = |q|BR/m است. با قرار دادن این سرعت در K = mv²/2 میرسیم به K_max = q²B²R²/(2m). چون بار در این رابطه به توان دو میرسد، علامت بار روی اندازه انرژی اثر ندارد؛ اما جهت گردش بار مثبت و منفی برعکس یکدیگر است.
گاهی بهجای R قطر محفظه D داده میشود. پیش از جایگذاری قطر را نصف کن. همچنین اگر انرژی بر حسب الکترونولت خواسته شده، انرژی ژول را بر بار بنیادی 1.60×10⁻¹⁹ J/eV تقسیم کن. برای ذرهای با بار چندبرابر e، افزایش انرژی در هر عبور از اختلاف پتانسیل V برابر |q|V است.
مثال حلشده: پروتون در سیکلوترون با شعاع ۳۰ سانتیمتر
پروتونی در میدان مغناطیسی B = 0.50 T درون سیکلوترونی با بیشینه شعاع R = 0.30 m حرکت میکند. با mₚ = 1.67×10⁻²⁷ kg و e = 1.60×10⁻¹⁹ C، بسامد منبع، سرعت و انرژی جنبشی خروجی را حساب کن.
بسامد از f = eB/(2πmₚ) به دست میآید: f ≈ (1.60×10⁻¹⁹×0.50)/(2π×1.67×10⁻²⁷) ≈ 7.6×10⁶ Hz یا 7.6 MHz. این بسامد به شعاع ۳۰ سانتیمتر وابسته نیست.
سرعت خروج v_max = eBR/mₚ ≈ 1.44×10⁷ m/s است. سپس K_max = mv²/2 ≈ 1.73×10⁻¹³ J میشود که با تقسیم بر 1.60×10⁻¹³ J/MeV تقریباً 1.08 MeV است. چون این سرعت حدود پنج درصد سرعت نور است، استفاده از تقریب کلاسیک برای این مثال برآورد مناسبی میدهد.
تعداد عبور از شکاف را از افزایش انرژی حساب کن
اگر اختلاف پتانسیل مؤثر دو محفظه هنگام هر عبور V باشد، میدان الکتریکی در هر گذر انرژی جنبشی را به اندازه ΔK = |q|V زیاد میکند. بنابراین برای ذرهای که تقریباً از سکون آغاز میکند، تعداد عبورها از شکاف N ≈ K_final/(|q|V) است. تعداد دور کامل تقریباً نصف تعداد عبورهاست، چون ذره در هر دور دو بار از شکاف میگذرد.
برای نمونه بالا، اگر پروتون در هر عبور اختلاف پتانسیل 2.0 kV را طی کند، در هر گذر 2.0 keV انرژی میگیرد. برای رسیدن به حدود 1.08 MeV تقریباً 540 عبور یا 270 دور لازم است. هنگام گردکردن، اگر سؤال رسیدن به دستکم یک انرژی معین را بخواهد، تعداد عبورها باید به عدد صحیح بالاتر گرد شود.
مسیر حل و دامهای رایج سؤالهای سیکلوترون
یک: نوع ذره را مشخص و |q| و m آن را بنویس. دو: بررسی کن سرعت بر B عمود و مدل غیرنسبیتی است. سه: اگر شعاع یا سرعت خواسته شده از r = mv/(|q|B) شروع کن. چهار: برای بسامد مستقیماً f = |q|B/(2πm) را به کار ببر. پنج: برای انرژی نهایی، شعاع لبه R را در q²B²R²/(2m) بگذار. شش: پاسخ را با واحد و روند وابستگیها کنترل کن.
سه دام مهم عبارتاند از استفاده از q با علامت منفی در شعاع، یکیگرفتن شعاع با قطر، و تصور اینکه میدان مغناطیسی ذره را تندتر میکند. همچنین زیادشدن جرم نسبیتی در سرعتهای بسیار بالا باعث میشود دوره دیگر ثابت نماند و ذره با ولتاژ ثابتبسامد همفاز نباشد؛ آنجا فرمول کلاسیک سیکلوترون پاسخ دقیق نیست. برای مرور پایه مسیر دایرهای، مقاله نیروی مغناطیسی بر ذره باردار را پیش از این راهنما بخوان.
- در فرمولهای اندازه از |q| استفاده کن.
- R شعاع مدار خروجی است، نه قطر دستگاه.
- میدان مغناطیسی کار انجام نمیدهد.
- اعتبار بسامد ثابت را به ناحیه غیرنسبیتی محدود کن.
برای حل مسئله سیکلوترون، نقش دو میدان را جدا نگه دار: میدان الکتریکی در شکاف کار انجام میدهد و انرژی را به اندازه |q|V در هر عبور افزایش میدهد؛ میدان مغناطیسی داخل محفظهها کار نمیکند و مسیر را با r = mv/(|q|B) خم میکند. از این رابطه، f = |q|B/(2πm)، v_max = |q|BR/m و K_max = q²B²R²/(2m) به دست میآیند. مقدار R شعاع نهایی مسیر است، نه قطر دستگاه، و فرمول بسامد ثابت فقط در تقریب غیرنسبیتی کاربرد دارد.