چگالی مخلوط و جسم توخالی؛ روش محاسبه جرم، حجم و فضای خالی

جرم، حجم و چگالی را با واحد سازگار بنویس

چگالی از رابطه ρ = m/V به دست می‌آید. در SI، جرم بر حسب کیلوگرم، حجم بر حسب متر مکعب و چگالی بر حسب kg/m³ است. در مسئله‌های کوچک‌تر می‌توان از گرم، سانتی‌متر مکعب و g/cm³ استفاده کرد؛ مهم این است که جرم و حجم در یک دستگاه سازگار باشند. هر 1 g/cm³ برابر 1000 kg/m³ است.

پیش از حل، یک جدول سه‌ستونی با عنوان‌های جرم، حجم و چگالی بساز. اگر دو کمیت هر جزء را داری، سومی از m = ρV یا V = m/ρ پیدا می‌شود. عدد چگالی به مقدار نمونه وابسته نیست؛ بریدن یک قطعه مس هم جرم و هم حجم را به یک نسبت کم می‌کند و نسبت آن‌ها ثابت می‌ماند.

• رابطه اصلی: ρ = m/V.
• تبدیل پرکاربرد: 1 cm³ = 10⁻⁶ m³.
• جرم اجزا جمع می‌شود؛ حجم را باید متناسب با مدل مسئله جمع کرد.

چگالی مخلوط را از جرم کل و حجم کل پیدا کن

اگر دو ماده با چگالی‌های ρ₁ و ρ₂ و حجم‌های V₁ و V₂ مخلوط شوند و مسئله تغییر حجم هنگام اختلاط را نادیده بگیرد، جرم کل m₁ + m₂ و حجم کل V₁ + V₂ است. پس ρmix = (ρ₁V₁ + ρ₂V₂)/(V₁ + V₂). این رابطه یک میانگین وزنی بر پایه حجم است، نه میانگین ساده دو چگالی.

اگر به‌جای حجم، جرم اجزا داده شده باشد، ابتدا V₁ = m₁/ρ₁ و V₂ = m₂/ρ₂ را حساب کن. سپس بنویس ρmix = (m₁ + m₂)/(m₁/ρ₁ + m₂/ρ₂). چگالی مخلوط دو ماده، با فرض جمع‌شدن حجم‌ها و جرم‌های مثبت، باید میان دو چگالی اولیه قرار گیرد؛ این بازه یک کنترل سریع برای جواب است.

مثال حل‌شده: چگالی آلیاژ از جرم دو فلز

آلیاژی از ۲۷۰ گرم فلز با چگالی 2.7 g/cm³ و ۷۸۰ گرم فلز با چگالی 7.8 g/cm³ ساخته شده است. با فرض جمع‌شدن حجم‌ها، حجم فلز اول 270/2.7 = 100 cm³ و حجم فلز دوم 780/7.8 = 100 cm³ است. بنابراین جرم کل ۱۰۵۰ گرم و حجم کل ۲۰۰ سانتی‌متر مکعب خواهد بود.

چگالی آلیاژ برابر 1050/200 = 5.25 g/cm³ می‌شود. چون حجم دو فلز برابر بود، در این مثال خاص میانگین ساده 2.7 و 7.8 نیز همین پاسخ را می‌دهد. اگر جرم‌ها برابر بودند، حجم‌ها برابر نمی‌شدند و میانگین ساده چگالی‌ها اشتباه بود. همچنین 5.25 میان دو چگالی اولیه قرار دارد، پس کنترل بازه را می‌گذراند.

در جسم توخالی، حجم ماده را از حجم ظاهری جدا کن

حجم ظاهری، حجمی است که مرز بیرونی جسم اشغال می‌کند و برابر مجموع حجم ماده و فضای خالی است. اگر جرم جسم m و چگالی ماده سازنده ρmaterial باشد، حجم واقعی ماده از Vmaterial = m/ρmaterial به دست می‌آید. سپس حجم فضای خالی برابر Vempty = Vapparent − Vmaterial است.

چگالی متوسط جسم از تقسیم جرم بر حجم ظاهری محاسبه می‌شود: ρaverage = m/Vapparent. این کمیت را با چگالی ماده سازنده یکی نگیر. وجود فضای خالی جرم اضافه نمی‌کند اما مخرج چگالی متوسط را بزرگ‌تر می‌کند؛ بنابراین برای یک جسم واقعاً توخالی، ρaverage از ρmaterial کمتر است.

• حجم ظاهری = حجم ماده + حجم فضای خالی.
• حجم ماده = جرم جسم ÷ چگالی ماده سازنده.
• درصد فضای خالی = (حجم خالی ÷ حجم ظاهری) × 100.

مثال حل‌شده: حجم خالی یک مکعب فلزی

یک مکعب فلزی توخالی با ضلع ۱۰ سانتی‌متر، جرم ۵۴۰۰ گرم دارد و از ماده‌ای با چگالی 7.2 g/cm³ ساخته شده است. حجم ظاهری مکعب 10³ = 1000 cm³ است. حجم فلز مصرف‌شده از 5400/7.2 = 750 cm³ به دست می‌آید.

پس حجم فضای خالی 1000 − 750 = 250 cm³ است و ۲۵ درصد حجم ظاهری را تشکیل می‌دهد. چگالی متوسط جسم نیز 5400/1000 = 5.4 g/cm³ است که به‌درستی از چگالی 7.2 ماده کمتر است. اگر حجم خالی منفی به دست آید، داده‌ها، تبدیل واحد یا انتخاب حجم ظاهری را اشتباه انجام داده‌ای.

حجم ظاهری جسم نامنظم را با جابه‌جایی آب اندازه بگیر

برای جسمی که شکل هندسی منظم ندارد، اختلاف حجم آب در استوانه مدرج پیش و پس از غوطه‌وری کامل، حجم ظاهری جسم را می‌دهد. اگر جسم حفره بسته داشته باشد، آب وارد آن نمی‌شود و فضای بسته هم در حجم جابه‌جا‌شده حساب می‌شود. اما اگر حفره به بیرون راه داشته باشد و آب کاملاً وارد آن شود، قرائت فقط حجم ماده و بخش‌های نفوذناپذیر را نشان می‌دهد.

این تفاوت مدل را از متن سؤال تشخیص بده. عبارت‌هایی مانند «توخالی و دربسته» یا «حفره‌ای که آب در آن نفوذ نمی‌کند» یعنی حجم بیرونی را به کار ببر. این موضوع با نیروی شناوری نیز ارتباط مستقیم دارد، زیرا نیروی ارشمیدس به حجم بخش غوطه‌ورِ جابه‌جا‌کننده شاره وابسته است، نه صرفاً جرم جسم.

چهار دام رایج مسئله‌های چگالی را کنترل کن

میانگین‌گرفتن مستقیم از چگالی‌ها بدون بررسی مقدار ماده، جمع‌کردن عددهای دارای واحد ناسازگار، استفاده از حجم ظاهری به‌جای حجم ماده، و فرض جمع‌شدن حجم‌ها بدون آنکه مدل سؤال اجازه دهد، چهار خطای اصلی‌اند. در مسئله‌های کتابی معمولاً اگر تغییر حجم ذکر نشده باشد، جمع‌پذیری حجم‌ها فرض می‌شود؛ در یک مسئله واقعی این فرض همیشه برقرار نیست.

مسیر حل ثابت این است: اجزا را مشخص کن، واحدها را یکسان کن، برای هر جزء m = ρV بنویس، جرم کل و حجم مناسب مدل را بساز و در پایان ρ = m/V را اعمال کن. سپس بررسی کن چگالی مخلوط در بازه درست باشد و حجم خالی از صفر تا حجم ظاهری قرار گیرد. راهنمای تحلیل ابعادی و کنترل واحد برای تشخیص خطاهای تبدیل، و مقاله شناوری برای ادامه کاربرد چگالی در شاره‌ها مفیدند.