حرکت جسم پس از برخورد وزنه به زمین، در آرایش جسم روی میز و وزنه آویزان، با شل‌شدن نخ عوض می‌شود: کشش صفر می‌شود، ولی جسم روی میز فوراً نمی‌ایستد. سرعت آن در آغاز مرحله دوم همان سرعت درست پیش از برخورد است و اصطکاک جنبشی آن را تا توقف کند می‌کند. بنابراین باید مسئله را به دو بازه نخِ کشیده و نخِ شل تقسیم کرد. در مثال این صفحه، جسم پس از رسیدن وزنه به زمین ۰٫۴۰ متر دیگر می‌لغزد و مسافت کل آن ۱٫۲۰ متر است؛ این نتیجه با فرض نبود جهش وزنه و باقی‌ماندن جسم روی میز به دست می‌آید.

دو مرحله حرکت بلوک روی میز زبر: پیش از تماس وزنه با زمین نخ کشیده است؛ پس از تماس نخ شل و کشش صفر است، اما بلوک هنوز به راست حرکت می‌کند
شکل شماتیک است و اندازه‌ها و پیکان‌ها مقیاس عددی ندارند. پیش از تماس، بلوک به راست و وزنه به پایین حرکت می‌کنند. پس از تماس بدون جهش، وزنه ساکن می‌ماند؛ بلوک با سرعت رو به راست و شتاب رو به چپ تا توقف پیش می‌رود.

صورت مسئله: جسم تا کجا روی میز پیش می‌رود؟

بلوک m₁ = 3 kg روی میز افقی زبر قرار دارد و با نخی از روی قرقره کنار میز به وزنه آویزان m₂ = 1 kg وصل است. نخ ابتدا کشیده و بخش روی میز افقی است. فاصله پایین وزنه تا زمین h = 80 cm است. دستگاه از سکون رها می‌شود. با μs = 0.25، μk = 0.20 و g = 10 m/s²، شتاب و کشش پیش از تماس وزنه با زمین، سرعت در مرز دو مرحله و مسافت کل حرکت بلوک تا توقف را پیدا کن.

نخ سبک، انعطاف‌پذیر و غیرقابل‌کشش و قرقره ثابت، بی‌جرم و بی‌اصطکاک است. مقاومت هوا و وزن نخ ناچیزند. وزنه پس از برخورد با زمین بدون جهش همان‌جا می‌ماند و نخ به مانعی گیر نمی‌کند. بلوک از وضعیت اولیه ۱٫۵۰ متر فضای حرکت تا رسیدن لبه جلویی‌اش به لبه میز دارد؛ در پایان باید کنترل کنیم پیش از آن می‌ایستد.

این سؤال تألیفی است. تیپ دو مرحله‌ای آن در نمایش آموزشی دانشگاه Case Western Reserve و آزمایش PhysicsLAB دیده می‌شود؛ داده‌های عددی این صفحه، داده اندازه‌گیری‌شده آن آزمایش‌ها نیستند. ابتدا واحد طول را هماهنگ می‌کنیم: h = 80 cm = 0.80 m.

گام اول: آیا دستگاه از سکون راه می‌افتد؟

اگر دستگاه ساکن بماند، کشش لازم برای نگه‌داشتن وزنه T = m₂g = 10 N است. بلوک نیز به ۱۰ نیوتن اصطکاک ایستایی رو به چپ نیاز دارد. چون نخ افقی است و بلوک شتاب قائم ندارد، N = m₁g = 30 N و سقف اصطکاک ایستایی fs,max = μsN = 0.25×30 = 7.5 N می‌شود.

اصطکاک لازم ۱۰ نیوتن از سقف ۷٫۵ نیوتن بیشتر است؛ پس سکون ممکن نیست. بلوک به راست و وزنه به پایین راه می‌افتند. اکنون باید اصطکاک جنبشی را به کار ببریم: fk = μkN = 0.20×30 = 6 N. عدد ۷٫۵ نیوتن فقط برای آزمون شروع حرکت بود و در معادله مرحله لغزش وارد نمی‌شود.

گام دوم: شتاب و کشش را برای نخ کشیده حساب کن

برای بلوک، راست را مثبت می‌گیریم: کشش به راست و اصطکاک به چپ است، پس T − 6 = 3a₁. برای وزنه، پایین را مثبت می‌گیریم: وزن به پایین و کشش به بالا است، پس 10 − T = 1a₁. نخ کشیده و قرقره ثابت باعث می‌شوند اندازه شتاب‌ها برابر باشد؛ جهت برداری آن‌ها یکسان نیست.

با جمع معادله‌ها، T حذف می‌شود: 10 − 6 = (3 + 1)a₁. بنابراین a₁ = 4/4 = 1 m/s². در صورت کسر نیروی خالص با واحد نیوتن و در مخرج جرم کل با واحد کیلوگرم داریم؛ N/kg همان m/s² است.

از معادله بلوک T = 3×1 + 6 = 9 N است. کنترل مستقل با وزنه می‌دهد 10 − 9 = 1×1. کشش از وزن ۱۰ نیوتنی وزنه کمتر است، چون وزنه رو به پایین شتاب دارد. رابطه T = m₂g که برای آزمون سکون نوشتیم، در این مرحله معتبر نیست.

گام سوم: سرعت درست پیش از تماس با زمین را پیدا کن

تا وقتی نخ کشیده است، پایین‌رفتن وزنه به اندازه ۰٫۸۰ متر با جابه‌جایی ۰٫۸۰ متری بلوک به راست همراه است. چون زمان خواسته نشده و شتاب در این بازه ثابت است، رابطه v² − v₀² = 2a₁h را انتخاب می‌کنیم؛ v₀ = 0 است.

پس v² = 2×1×0.80 = 1.60 m²/s² و v = √1.60 ≈ 1.26 m/s می‌شود. این تندیِ هر دو جسم درست پیش از برخورد است. برای محاسبه مسافت بعدی، مقدار دقیق v² = 1.60 را نگه می‌داریم تا گردکردن زودهنگام وارد جواب نشود.

حرکت جسم پس از برخورد وزنه به زمین چگونه تغییر می‌کند؟

پس از تماس بدون جهش، وزنه دیگر پایین نمی‌رود. بلوک هنوز به راست و به سوی قرقره حرکت می‌کند؛ بنابراین فاصله افقی بلوک تا قرقره کوتاه می‌شود، بدون آنکه بخش قائم نخ بلندتر شود. طول نخ ثابت است، اما مسیر مستقیم لازم میان دو جسم کوتاه شده است: نخ شل می‌شود. غیرقابل‌کشش‌بودن نخ به معنی همیشه کشیده‌ماندن آن نیست.

نخ انعطاف‌پذیر می‌تواند بکشد، اما نمی‌تواند با فشار دادن، بلوک را متوقف کند. در مدل نخ سبکِ شل، T = 0 است و قید برابری سرعت و شتاب دو جسم دیگر برقرار نیست. ضربه زمین وزنه را متوقف می‌کند؛ با فرض این مدل و نبود ضربه افقی بر بلوک، سرعت بلوک در مرز دو مرحله ناگهان صفر نمی‌شود.

برای بلوکِ در حال لغزش، نیروهای قائم همچنان N و m₁g هستند و یکدیگر را خنثی می‌کنند. تنها نیروی افقی، اصطکاک ۶ نیوتنی رو به چپ است. با همان محور مثبت رو به راست، −6 = 3a₂ و a₂ = −2 m/s². سرعت هنوز مثبت است، اما شتاب منفی؛ یعنی بلوک کند می‌شود.

گام چهارم: مسافت اضافی و مسافت کل را جدا حساب کن

در مرحله دوم، مربع سرعت آغازین 1.60 m²/s² است و سرعت پایانی صفر. اگر s₂ مسافت پس از برخورد باشد، از v_f² − v_i² = 2a₂s₂ داریم 0 − 1.60 = 2×(−2)×s₂. بنابراین s₂ = 0.40 m، یعنی ۴۰ سانتی‌متر است. منفی‌بودن شتاب مسافت را منفی نمی‌کند؛ دو طرف معادله علامت سازگار دارند.

خواسته سؤال مسافت کل بلوک از لحظه رهاسازی است: s_total = h + s₂ = 0.80 + 0.40 = 1.20 m. اگر فقط «مسافت پس از برخورد» خواسته شود، جواب ۰٫۴۰ متر است. در هر دو مرحله جهت حرکت بلوک راست است، پس در این مثال اندازه جابه‌جایی و مسافت کل برابرند.

چون 1.20 < 1.50، بلوک پیش از رسیدن به لبه میز می‌ایستد و ۰٫۳۰ متر فضای حرکت باقی می‌ماند؛ فرض سطح افقی تا پایان معتبر است. پس از توقف، دیگر fk = 6 N نداریم. نخ شل است و نیروی افقی محرک دیگری وجود ندارد؛ اصطکاک لازم صفر است و بلوک به عقب برنمی‌گردد.

جواب را با انرژی، واحد و حالت حدی کنترل کن

کنترل مرحله اول: کاهش انرژی پتانسیل وزنه m₂gh = 1×10×0.80 = 8 J است. اصطکاک تا تماس 6×0.80 = 4.8 J انرژی مکانیکی را به انرژی درونی تبدیل می‌کند. انرژی جنبشی دو جسم درست پیش از برخورد نیز ½(3 + 1)×1.60 = 3.2 J است؛ جمع 4.8 + 3.2 = 8 J برقرار است.

پس از برخورد، فقط انرژی جنبشی بلوک برای ادامه لغزش باقی می‌ماند: K₁ = ½×3×1.60 = 2.4 J. کار اصطکاک مرحله دوم −6×0.40 = −2.4 J همین انرژی را می‌گیرد. انرژی جنبشی وزنه، ½×1×1.60 = 0.8 J، در برخورد بدون جهش با زمین به شکل‌های دیگر تبدیل می‌شود؛ نباید آن را به حساب حرکت بعدی بلوک گذاشت. کنترل کل نیز 8 = 6×1.20 + 0.8 است.

واحد s₂ از v²/(2μkg) برابر (m²/s²)/(m/s²) = m است. با ثابت‌بودن سرعت ورود به مرحله دوم، اصطکاک کمتر مسافت توقف را بیشتر می‌کند. در حد μk = 0، بلوک پس از شل‌شدن نخ روی میز افقیِ بی‌انتها نمی‌ایستد؛ پس فرمول مسافت توقف محدود در آن حد کاربرد ندارد.

جمع‌بندی

مرز دو مرحله، رسیدن وزنه به زمین است. پیش از آن، دو جسم با نخ کشیده شتاب مشترک دارند؛ پس از آن، نخ شل می‌شود و فقط اصطکاک افقی جسم روی میز را کند می‌کند. در این مثال، شتاب مرحله اول ۱ متر بر مجذور ثانیه، کشش ۹ نیوتن و سرعت مرزی حدود ۱٫۲۶ متر بر ثانیه است. شتاب مرحله دوم −۲ متر بر مجذور ثانیه و مسافت اضافی ۰٫۴۰ متر می‌شود؛ با افزودن ۰٫۸۰ متر مرحله اول، مسافت کل ۱٫۲۰ متر است. پس از توقف نیز اصطکاک جنبشی را ادامه نده؛ نیروی افقی دیگری وجود ندارد و جسم ساکن می‌ماند.

منابع علمی