پاسخ مستقیم این است: اگر باتری با نیروی محرکه ε و مقاومت داخلی r به مقاومت خارجی R وصل باشد، جریان I = ε/(R + r) و توان دریافتی بار P_R = I²R = ε²R/(R + r)² است. این توان هنگامی بیشینه میشود که R = r و مقدار بیشینه آن P_max = ε²/(4r) است. در این وضعیت ولتاژ دو سر باتری ε/2 و بازده انتقال توان ۵۰ درصد است؛ پس «بیشینه توان بار» با «بیشینه بازده» یک هدف نیست.
باتری واقعی را به مولد آرمانی و مقاومت داخلی تبدیل کن
مدل ساده باتری واقعی از یک مولد آرمانی با نیروی محرکه ε و یک مقاومت داخلی r تشکیل میشود. وقتی مقاومت خارجی R به باتری وصل است، هر دو مقاومت در یک حلقه سریاند و جریان مدار از I = ε/(R + r) به دست میآید. ولتاژ دو سر باتری در حالت دشارژ نیز U = ε − Ir است و چون همین ولتاژ روی بار قرار دارد، U = IR خواهد بود.
توان تولیدشده در مولد آرمانی εI است. بخشی از آن به صورت I²r درون باتری تلف میشود و بخش باقیمانده P_R = I²R به مقاومت خارجی میرسد. بنابراین پیش از بهینهسازی باید روشن باشد سؤال توان کدام جزء را میخواهد: مولد، مقاومت داخلی یا بار خارجی.
- جریان مدار: I = ε/(R + r)
- توان بار: P_R = I²R
- توان تلفشده داخل باتری: P_r = I²r
توان بار را بر حسب مقاومت خارجی بنویس
با جایگذاری جریان در توان بار داریم P_R = [ε/(R + r)]²R، پس P_R = ε²R/(R + r)². این رابطه نشان میدهد تغییر R دو اثر مخالف دارد: بزرگترشدن R مستقیماً عامل R را زیاد میکند، اما جریان را کاهش میدهد. به همین دلیل توان نه در اتصال کوتاه و نه در مدار باز بیشینه نیست.
دو حد، پاسخ را کنترل میکنند. اگر R به صفر میل کند، با وجود جریان زیاد، توان خود بار به صفر میل میکند چون P_R = I²R است. اگر R بسیار بزرگ شود، جریان به صفر میل میکند و باز هم توان بار تقریباً صفر میشود. پس میان این دو حد باید یک بیشینه وجود داشته باشد.
شرط بیشینه توان را بدون مشتق به دست آور
رابطه توان را به شکل P_R = ε²/[R + 2r + r²/R] بازنویسی کن. برای ε و r ثابت، توان وقتی بیشینه است که مخرج کمینه شود. طبق نامساوی میانگین حسابی و هندسی برای R > 0 داریم R + r²/R ≥ 2r و برابری تنها وقتی رخ میدهد که R = r. بنابراین شرط بیشینه توان بار R = r است.
با قرار دادن R = r، جریان I = ε/(2r)، ولتاژ بار U = IR = ε/2 و توان بیشینه P_max = ε²/(4r) میشود. این نتیجه برای مدل باتری با ε و r ثابت است؛ در یک باتری واقعی ممکن است مقاومت داخلی با دما، وضعیت شارژ و جریان تغییر کند، اما در سطح مسئلههای کتابی همان مدل ثابت به کار میرود.
- شرط بیشینه توان بار: R = r
- جریان در نقطه بیشینه: I = ε/(2r)
- بیشینه توان بار: P_max = ε²/(4r)
مسئله را در پنج گام حل کن
یک: ε، r و R را از صورت سؤال جدا کن. دو: مشخص کن کمیت خواستهشده توان بار است یا توان کل و اتلاف داخلی. سه: جریان را از I = ε/(R + r) به دست آور. چهار: برای یک R مشخص از P_R = I²R و برای بیشینه توان مستقیماً از R = r استفاده کن. پنج: ولتاژ، توان و بازده را با واحد و حدود فیزیکی کنترل کن.
اگر بار از چند مقاومت ساخته شده است، ابتدا مقاومت معادل دیدهشده از پایانههای باتری را حساب کن و آن را R بنام. برای بیشینهشدن توان کل تحویلی به شبکه بار، همین مقاومت معادل باید با r برابر شود؛ لازم نیست تکتک مقاومتهای شبکه برابر r باشند.
مثال حلشده: انتخاب مقاومت بار برای بیشینه توان
باتریای با ε = 12 V و مقاومت داخلی r = 2 Ω داریم. مقاومت خارجی متغیر است. برای دریافت بیشترین توان، باید R = r = 2 Ω انتخاب شود. جریان مدار در این حالت I = 12/(2 + 2) = 3 A است.
توان بار P_R = I²R = 3²×2 = 18 W است. همان نتیجه از P_max = ε²/(4r) = 12²/(4×2) = 18 W به دست میآید. ولتاژ دو سر بار نیز U = IR = 6 V، یعنی نصف نیروی محرکه باتری است.
برای کنترل، اگر R = 1 Ω باشد، جریان 4 A و توان بار 16 W میشود. اگر R = 4 Ω باشد، جریان 2 A و توان بار باز هم 16 W است. هر دو مقدار از 18 W کمترند؛ همچنین دو مقاومت 1 و 4 اهمی حاصلضربشان r² = 4 Ω² است و در این مدل توان برابری میگیرند.
بیشینه توان را با بیشینه بازده اشتباه نگیر
بازده انتقال انرژی به بار برابر η = P_R/(εI) = R/(R + r) است. در شرط R = r، بازده η = 1/2 یا ۵۰ درصد میشود؛ یعنی توان تلفشده در مقاومت داخلی با توان دریافتی بار برابر است. این وضعیت بیشترین توان بار را میدهد، نه بیشترین بازده ممکن را.
با زیادشدن R نسبت به r، بازده به ۱ نزدیک میشود زیرا سهم اتلاف داخلی کوچکتر است؛ ولی جریان و توان مطلق بار سرانجام کاهش مییابند. پس اگر سؤال «بیشترین توان دریافتی» میخواهد R = r، اما اگر درباره بازده یا اتلاف میپرسد باید خود رابطه η یا I²r را بررسی کنی.
چهار خطای رایج را پیش از انتخاب گزینه بررسی کن
نخست، ε را با ولتاژ دو سر باتری یکی نگیر؛ هنگام عبور جریان، U = ε − Ir است. دوم، در P = I²R فقط مقاومت خارجی را قرار بده، نه R + r. سوم، شرط R = r را فقط برای بیشینه توان بار در مدل خطی به کار ببر. چهارم، فراموش نکن تغییر R جریان را هم تغییر میدهد؛ مقایسه توانها با فرض جریان ثابت در این مدار درست نیست.
یک کنترل سریع در نقطه بیشینه این است که ولتاژ بار باید نصف ε باشد و توان بار و اتلاف داخلی برابر شوند. ناسازگاری هرکدام از این سه نتیجه معمولاً نشانه آن است که مقاومت داخلی از جمع مقاومت حلقه جا افتاده یا توان جزء نادرستی محاسبه شده است.
برای مسئله بیشینه توان باتری واقعی، ابتدا مدار را به ε، مقاومت داخلی r و بار R تبدیل کن. سپس I = ε/(R + r) و P_R = ε²R/(R + r)² را بنویس. توان بار در R = r به بیشینه ε²/(4r) میرسد؛ در همین نقطه U = ε/2 و بازده ۵۰ درصد است. اگر هدف کمینهکردن اتلاف یا بیشینهکردن بازده باشد، نباید شرط R = r را خودکار به کار برد؛ هدف سؤال تعیین میکند کدام کمیت را بررسی کنی.