برای N باتری یکسان با نیروی محرکه ε و مقاومت داخلی r، در اتصال سری داریم εeq = Nε و req = Nr؛ پس جریان بار R برابر I = Nε/(R + Nr) است. در اتصال موازی همجهت، εeq = ε و req = r/N؛ بنابراین I = ε/(R + r/N). سری همیشه جریان بیشتری نمیدهد: اگر R > r، اتصال سری و اگر R < r، اتصال موازی جریان بیشتری از بار میگذراند؛ در R = r جریان دو آرایش برابر است. این نتیجه برای باتریهای یکسان، سالم و همجهت است.
هر باتری واقعی را به مولد آرمانی و مقاومت داخلی تبدیل کن
مدل ساده باتری واقعی از یک مولد آرمانی با نیروی محرکه ε و یک مقاومت داخلی r به صورت سری ساخته میشود. اگر باتری به مقاومت خارجی R جریان بدهد، همه مقاومتهای مسیر سریاند و جریان از I = ε/(R + r) به دست میآید. ولتاژ دو سر باتری هنگام تخلیه نیز V = ε − Ir است.
نیروی محرکه با وجود نامش نیرو نیست و یکای آن ولت است؛ این کمیت انرژی دادهشده به واحد بار را بیان میکند. افت Ir بخشی از ولتاژ است که روی مقاومت داخلی میافتد. در نتیجه هرچه جریان بیشتر باشد، ولتاژ پایانه هنگام تخلیه از ε کمتر میشود.
- مدل باتری واقعی: مولد ε در سری با r
- جریان یک باتری و بار: I = ε/(R + r)
- ولتاژ پایانه در حال تخلیه: V = ε − Ir
باتریهای سری همجهت را معادلسازی کن
در اتصال سری همجهت، قطب مثبت هر باتری به قطب منفی باتری بعدی وصل میشود و افزایش پتانسیلها با هم جمع میشوند. برای N باتری یکسان، εeq = Nε است. مقاومتهای داخلی نیز سریاند، پس req = Nr و جریان مدار Iseries = Nε/(R + Nr) میشود.
اگر یکی از باتریها برعکس بسته شود، نیروی محرکه آن با علامت مخالف وارد جمع جبری میشود، اما مقاومت داخلیاش همچنان به مجموع مقاومتها اضافه میشود. بنابراین شمردن تعداد باتریها بدون علامتگذاری قطبها کافی نیست. جهت پیمایش حلقه را انتخاب کن و عبور از منفی به مثبت هر مولد را افزایش پتانسیل بگیر.
- سری همجهت: εeq = Nε
- مقاومت داخلی معادل: req = Nr
- جریان بار: Iseries = Nε/(R + Nr)
اتصال موازی را فقط برای باتریهای یکسان ساده کن
در اتصال موازی همجهت، همه قطبهای مثبت به یک گره و همه قطبهای منفی به گره دیگر متصلاند. برای N باتری یکسان، ولتاژ معادل افزایش نمییابد و εeq = ε باقی میماند. مقاومتهای داخلی یکسان موازیاند، پس req = r/N و Iparallel = ε/(R + r/N) است.
رابطه r/N به باتریهای دارای ε و r یکسان محدود است. موازیکردن مستقیم باتریهایی با نیروی محرکه متفاوت میتواند حتی بدون بار خارجی میان آنها جریان گردشی ایجاد کند؛ چنین مداری را نباید با یک میانگین ساده حل کرد. در سؤالهای چندمولدیِ نابرابر، قانونهای کیرشهف مسیر مطمئنتری هستند.
- موازیِ باتریهای یکسان: εeq = ε
- مقاومت داخلی معادل: req = r/N
- جریان بار: Iparallel = ε/(R + r/N)
با مقایسه R و r آرایش مناسب را تشخیص بده
برای مقایسه جریان دو آرایش، Iseries = Nε/(R + Nr) و Iparallel = ε/(R + r/N) را برابر یا نسبت آنها را بررسی کن. پس از سادهسازی، مرز دو حالت R = r به دست میآید؛ جالب اینکه این مرز به تعداد باتریها وابسته نیست.
اگر R > r باشد، آرایش سری جریان بیشتری میدهد، چون افزایش نیروی محرکه اثر مهمتری دارد. اگر R < r باشد، موازی بهتر است، چون کاهش مقاومت داخلی تعیینکننده میشود. این مقایسه به معنی انتخاب مهندسی کامل نیست؛ محدودیت جریان، گرمایش، ظرفیت و یکسانبودن باتریها نیز در مدار واقعی اهمیت دارند.
- R > r: جریان اتصال سری بیشتر است
- R < r: جریان اتصال موازی بیشتر است
- R = r: جریان دو اتصال برابر است
مثال حلشده: سه باتری را سری ببندیم یا موازی؟
سه باتری یکسان داریم که هر کدام ε = 1.5 V و r = 0.50 Ω دارند. آنها را یک بار سری و یک بار موازی به مقاومت R = 4.0 Ω وصل میکنیم. جریان بار و ولتاژ دو سر آن را در هر آرایش پیدا کن.
در حالت سری، εeq = 4.5 V و req = 1.5 Ω است. بنابراین Is = 4.5/(4.0 + 1.5) ≈ 0.82 A و ولتاژ بار VR = IsR ≈ 3.27 V میشود.
در حالت موازی، εeq = 1.5 V و req = 0.50/3 ≈ 0.167 Ω است. پس Ip = 1.5/(4.0 + 0.167) ≈ 0.36 A و VR ≈ 1.44 V است. چون R = 4.0 Ω از r = 0.50 Ω بزرگتر است، نتیجه محاسبه با قاعده مقایسه سازگار است و اتصال سری جریان بیشتری میدهد.
اتصال کوتاه و توان تلفشده داخلی را کنترل کن
اگر مقاومت خارجی در مدل به صفر نزدیک شود، جریان اتصال کوتاه از Isc = εeq/req به دست میآید. برای N باتری یکسان، هم در آرایش سری و هم در آرایش موازی مقدار این کسر Nε/r میشود. این برابری به معنی بیخطر یا مجازبودن اتصال کوتاه نیست؛ مدل فقط جریان نظری را نشان میدهد و جریان بزرگ موجب اتلاف داخلی میشود.
توان تحویلی به بار PR = I²R و توان تلفشده درون مجموعه Pr = I²req است. همچنین توان تولیدی مولدها εeqI برابر مجموع این دو توان است. این تراز، کنترل خوبی برای محاسبات فراهم میکند و نشان میدهد چرا ولتاژ پایانه زیر بار افت میکند.
مسیر حل و خطاهای رایج را مرور کن
یک: قطب همه باتریها را روی شکل مشخص کن. دو: نیروی محرکه معادل را با علامت درست بساز. سه: مقاومتهای داخلی را مانند مقاومتهای معمولی معادل کن. چهار: مقاومت خارجی را به مدار معادل اضافه و جریان را محاسبه کن. پنج: در صورت نیاز، ولتاژ بار را از IR و ولتاژ پایانه را از εeq − Ireq کنترل کن.
سه خطای رایج عبارتاند از جمعکردن ε در اتصال موازی، فراموشکردن مقاومت داخلی در اتصال سری و استفاده از r/N برای باتریهای نابرابر. برای مرور رفتار یک مولد، مقاله نیروی محرکه و مقاومت داخلی باتری را بخوان؛ برای منابع نابرابر از راهنمای قانونهای کیرشهف و برای محاسبه توان بار از مقاله توان و انرژی الکتریکی استفاده کن.
برای حل مدار چندباتری، نیروی محرکه و مقاومت داخلی را جداگانه معادلسازی کن و سپس I = εeq/(R + req) را بنویس. در سریِ همجهت، هر دو کمیت N برابر میشوند؛ در موازی باتریهای یکسان، نیروی محرکه ثابت و مقاومت داخلی N برابر کوچکتر میشود. مقایسه نشان میدهد سری برای R > r و موازی برای R < r جریان بیشتری در بار ایجاد میکند. قطبها را پیش از محاسبه علامت بزن و اتصال موازی باتریهای نابرابر را با فرمول ساده r/N حل نکن.