در بارومتر ساده، فشار هوا روی سطح مایعِ مخزن وارد میشود و ستون مایع داخل لوله را نگه میدارد. چون بالای ستون تقریباً خلأ است، در یک تراز افقی از مایع داریم Patm = ρgh؛ بنابراین با دانستن چگالی مایع ρ، اختلاف ارتفاع عمودی h و شتاب گرانش g میتوان فشار هوا را یافت. ارتفاع را از سطح مایع مخزن تا بالای ستون اندازه بگیر، نه از کف ظرف یا طول مایل لوله. اگر بالای ستون خلأ نباشد، رابطه به Patm = Ptop + ρgh تغییر میکند.
بارومتر را با دو فشار در یک تراز مدل کن
یک لوله بلندِ بسته را از مایع پر میکنند، وارونه در مخزن همان مایع میگذارند و بخشی از مایع در لوله پایین میآید. بالای ستون فضای کمفشاری باقی میماند. فشار هوا روی سطح آزاد مخزن وارد میشود و اختلاف فشار دو سوی ستون، وزن آن را در تعادل نگه میدارد.
دو نقطه همتراز در مایعِ پیوسته انتخاب کن: یکی در لوله و دیگری در مخزن. فشار نقطه سمت مخزن Patm است. فشار نقطه سمت لوله از فشار بالای ستون بهاضافه ρgh به دست میآید. پس معادله کلی Patm = Ptop + ρgh است. در مدل بارومتر جیوهای ساده، فشار بالای ستون در برابر فشار جو ناچیز فرض میشود و Patm = ρgh خواهیم داشت.
- فشار روی مخزن: Patm
- فشار بالای ستون: Ptop
- اختلاف ارتفاع قائم: h
- معادله تعادل: Patm = Ptop + ρgh
ارتفاع قائم ستون را درست از شکل بخوان
h اختلاف ارتفاع عمودی میان سطح آزاد مایع در مخزن و سطح مایع داخل لوله است. عمق فروبردن انتهای باز لوله در مخزن مستقیماً h نیست و طول خود لوله هم لزوماً ارتفاع ستون را نشان نمیدهد. اگر لوله کج باشد، باز هم مؤلفه قائم فاصله دو سطح را در ρgh قرار بده.
سطح مقطع لوله در مدل آرمانی وارد رابطه تعادل نمیشود. وزن ستون با مساحت مقطع متناسب است، اما نیروی ناشی از اختلاف فشار نیز همان ضریب مساحت را دارد و این ضریب ساده میشود. بااینحال در لوله بسیار باریک، اثر مویینگی میتواند خواندن ارتفاع را تغییر دهد؛ سؤال دبیرستانی معمولاً این اثر را نادیده میگیرد یا درباره آن توضیح میدهد.
مسئله بارومتر را در چهار گام حل کن
یک: مایع و دو سطح آن را مشخص کن و h قائم را روی شکل علامت بزن. دو: یک تراز افقی در مایع مشترک انتخاب کن. سه: فشار دو نقطه همتراز را برابر بنویس و فقط اگر بالای ستون خلأ فرض شده است Ptop را صفر بگیر. چهار: همه کمیتها را به SI تبدیل کن و مجهول را از Patm = Ptop + ρgh به دست آور.
اگر فشار هوا مجهول باشد، از Patm = ρgh در حالت خلأ استفاده کن. اگر ارتفاع مجهول باشد، h = (Patm − Ptop)/(ρg) است. در سؤال نسبتی، پیش از عددگذاری بنویس h متناسب با (Patm − Ptop)/(ρg) است؛ این کار اثر همزمان تغییر فشار، چگالی و گرانش را روشن میکند.
مثال حلشده: فشار هوا از ستون جیوه
بارومتر جیوهای در محلی اختلاف ارتفاع 75 cm را نشان میدهد. چگالی جیوه 13,600 kg/m³ و g = 10 N/kg است و بالای ستون خلأ فرض میشود. فشار هوا را میخواهیم. نخست ارتفاع را به متر تبدیل میکنیم: h = 0.75 m.
اکنون Patm = ρgh = 13,600 × 10 × 0.75 = 102,000 Pa. پس فشار هوا در مدل دادهشده 1.02×10⁵ Pa است. کنترل واحد نیز نتیجه را تأیید میکند: (kg/m³)(N/kg)(m) = N/m² = Pa.
اگر همین فشار را با مایعی به چگالی 6,800 kg/m³ بسنجیم و سایر فرضها ثابت بمانند، چگالی نصف و ارتفاع لازم دو برابر، یعنی 1.50 m میشود. این مقایسه از h = Patm/(ρg) به دست میآید و به حفظ عدد تازهای نیاز ندارد.
تغییر چگالی، فشار و گرانش را نسبتی تحلیل کن
در یک فشار هوای ثابت و برای خلأ بالای ستون، حاصلضرب ρgh ثابت است. بنابراین افزایش چگالی مایع یا افزایش g، ارتفاع تعادلی را کم میکند. اگر خود فشار هوا کاهش یابد و مایع و مکان آزمایش ثابت بمانند، ارتفاع ستون نیز به همان نسبت کاهش مییابد.
برای دو وضعیت، رابطه h2/h1 = [(Patm,2 − Ptop,2)/(Patm,1 − Ptop,1)] × (ρ1/ρ2) × (g1/g2) را میتوان مستقیم از معادله کلی ساخت. عاملهایی را که واقعاً ثابتاند حذف کن؛ برای نمونه هنگام مقایسه دو مایع در همان زمان و مکان، فشار هوا و g مشترکاند اما چگالیها متفاوتاند.
- ρ بیشتر با فشار ثابت: h کمتر
- Patm بیشتر با مایع ثابت: h بیشتر
- g بیشتر با فشار ثابت: h کمتر
بارومتر را از مانومتر باز جدا کن
بارومتر فشار هوا را با مقایسه آن با خلأ تقریبی بالای یک ستون اندازه میگیرد؛ پس خروجی آن فشار مطلق جو است. مانومتر باز معمولاً فشار یک گاز را با فشار هوای محیط مقایسه میکند و اختلاف ارتفاع، فشار پیمانهای گاز را نشان میدهد. در مانومتر، سمت بالاتر و پایینتر مایع تعیین میکند فشار گاز از فشار جو بیشتر است یا کمتر.
میانبُر تشخیص این است: اگر یک سمت ستون خلأ و سمت دیگر هوا باشد، با بارومتر و رابطه فشار مطلق روبهرو هستی. اگر یک سمت به گاز و سمت دیگر به هوا وصل باشد، مسئله مانومتر است. برای شکلهای چندمایعی و تعیین علامت اختلاف فشار، راهنمای «فشار شاره و لوله U» مسیر کاملتری ارائه میدهد.
پاسخ را با چهار کنترل نهایی بررسی کن
ارتفاع سانتیمتری را پیش از جایگذاری به متر تبدیل کن، چگالی را با kg/m³ بنویس، h را قائم بگیر و فشار بالای ستون را فقط با وجود فرض خلأ حذف کن. همچنین ρgh در بارومترِ خلأ فشار مطلق هواست، نه فشار پیمانهای آن نسبت به خودش.
وابستگیها یک کنترل سریع میدهند: در فشار ثابت، مایع کمچگالتر باید ستون بلندتری بسازد. اگر نتیجه برعکس شد، نسبت را وارونه نوشتهای. اگر از دادههای SI استفاده کردهای، پاسخ فشار باید بر حسب پاسکال و پاسخ ارتفاع بر حسب متر باشد.
در بارومتر، یک تراز افقی مشترک در مایع انتخاب کن: فشار سمت مخزن Patm و فشار سمت لوله Ptop + ρgh است. برای خلأ تقریبی بالای ستون، Ptop ≈ 0 و در نتیجه Patm = ρgh. ارتفاع باید قائم و بر حسب متر باشد. در مقایسهها نیز از h = Patm/(ρg) استفاده کن: مایع چگالتر ستون کوتاهتری میسازد و کاهش فشار هوا ارتفاع را کم میکند. اگر فشار بالای ستون داده شده یا صفر نیست، آن را حذف نکن. در پایان، پاسخ را با واحد پاسکال و وابستگی معکوس ارتفاع به چگالی کنترل کن.