پاسخ مستقیم این است: در برخورد کشسان یکبعدی، هم تکانه و هم انرژی جنبشی کل پایستهاند. مسیر کوتاه حل این است که سرعتها را علامتدار روی یک محور بنویسی، معادله m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ را با رابطه u₁ − u₂ = −(v₁ − v₂) حل کنی. رابطه دوم میگوید در برخورد کشسان، اندازه سرعت نسبی دورشدن دو جسم با اندازه سرعت نسبی نزدیکشدن آنها برابر است. پس از یافتن v₁ و v₂، جهت حرکت را از علامت جواب و درستی نتیجه را با انرژی جنبشی کنترل کن.
کشسانبودن برخورد دقیقاً چه اطلاعاتی میدهد؟
در یک دستگاه منزوی، تکانه کل در هر نوع برخورد پایسته است؛ بنابراین پایستگی تکانه بهتنهایی کشسانبودن را ثابت نمیکند. ویژگی اضافه برخورد کشسان این است که انرژی جنبشی کل نیز پیش و پس از برخورد برابر میماند. انرژی ممکن است هنگام فشردهشدن موقت اجسام به انرژی کشسانی تبدیل شود، اما در پایان برخورد دوباره به انرژی جنبشی بازمیگردد.
در یک بعد میتوان نتیجه پایستگی تکانه و انرژی جنبشی را به شکل کاربردی «سرعت نسبی نزدیکشدن = سرعت نسبی جدایی» نوشت. اگر جسم ۱ پیش از برخورد از پشت به جسم ۲ نزدیک شود، u₁ − u₂ سرعت نزدیکشدن و v₂ − v₁ سرعت جدایی است؛ پس u₁ − u₂ = v₂ − v₁. همه سرعتها در این رابطه جبری و علامتدارند.
- همه برخوردها در دستگاه منزوی: تکانه پایسته
- فقط برخورد کشسان: انرژی جنبشی کل نیز پایسته
- در یک بعد: سرعت نسبی نزدیکشدن و جدایی برابر
پیش از معادلهنویسی، جهت سرعتها را علامتگذاری کن
یک جهت، مثلاً راست، را مثبت بگیر. سرعت جسمی که به راست میرود مثبت و سرعت جسمی که به چپ میرود منفی است؛ تندی هر جسم اندازه بدون علامت سرعت آن است. اگر پس از حل v₁ منفی شد، نتیجه نمیگوید تندی منفی است، بلکه جسم ۱ برگشته و خلاف جهت مثبت حرکت میکند.
حروف u₁ و u₂ را برای سرعتهای پیش از برخورد و v₁ و v₂ را برای سرعتهای پس از برخورد نگه دار. این نامگذاری جلوی جابهجاکردن وضعیت ابتدا و انتها را میگیرد. جرمها همیشه مثبتاند و هیچ علامت جهتی به جرم داده نمیشود.
برخورد کشسان را در پنج گام حل کن
یک: دستگاه دو جسم را انتخاب و نبود ضربه خارجی مؤثر در زمان کوتاه برخورد را بررسی کن. دو: محور و جهت مثبت را روی شکل بنویس. سه: u₁ و u₂ را با علامت ثبت کن. چهار: دو معادله m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ و v₂ − v₁ = u₁ − u₂ را همزمان حل کن. پنج: تکانه، انرژی جنبشی و جهت جدایی دو جسم را کنترل کن.
نوشتن مستقیم پایستگی انرژی بهصورت یک معادله درجه دوم درست است، اما معمولاً محاسبه را طولانی میکند. رابطه سرعت نسبی همان اطلاعات اضافه را در قالب خطی میدهد. با این حال، اگر صورت سؤال فقط برخورد را «بدون اتلاف انرژی جنبشی» توصیف کرد، باز هم مجاز به استفاده از همین رابطه هستی.
- سرعتها را علامتدار بنویس.
- تکانه را برای کل دستگاه پایسته بگیر.
- رابطه سرعت نسبی را فقط برای برخورد کشسان به کار ببر.
- پس از حل، دورشدن اجسام را بررسی کن.
مثال حلشده: برخورد جسم متحرک با جسم ساکن
جسم ۱ با جرم 2 kg و سرعت 6 m/s به سمت راست به جسم ۲ با جرم 4 kg که ساکن است برخورد کشسان میکند. سرعت نهایی هر جسم را بیاب. راست را مثبت میگیریم؛ بنابراین u₁ = +6 m/s و u₂ = 0 است.
پایستگی تکانه میدهد 2×6 = 2v₁ + 4v₂، یا 6 = v₁ + 2v₂. از رابطه سرعت نسبی نیز v₂ − v₁ = 6 داریم. با جایگذاری v₁ = v₂ − 6 در معادله اول، 6 = v₂ − 6 + 2v₂ و در نتیجه v₂ = +4 m/s و v₁ = −2 m/s به دست میآید.
علامت منفی v₁ یعنی جسم سبکتر پس از برخورد به چپ برمیگردد. کنترل انرژی: پیش از برخورد K = ½×2×6² = 36 J و پس از آن K = ½×2×(−2)² + ½×4×4² = 4 + 32 = 36 J است. تکانه نهایی نیز 2×(−2) + 4×4 = 12 kg·m/s و برابر تکانه اولیه است.
فرمول حالت هدف ساکن را بفهم، نه حفظ
اگر جسم ۲ ابتدا ساکن باشد، حل دو معادله عمومی نتیجه میدهد v₁ = [(m₁ − m₂)/(m₁ + m₂)]u₁ و v₂ = [2m₁/(m₁ + m₂)]u₁. این رابطهها فقط برای u₂ = 0 هستند. اگر هر دو جسم پیش از برخورد حرکت کنند، باید به معادلههای عمومی بازگردی.
از این فرمولها میتوان روند جواب را پیشبینی کرد. اگر m₁ = m₂ باشد، جسم اول میایستد و جسم دوم سرعت اولیه آن را میگیرد. اگر m₁ < m₂ باشد، v₁ خلاف علامت u₁ میشود و جسم اول بازمیگردد. اگر m₁ بسیار بزرگتر از m₂ باشد، جسم سنگین تقریباً با همان جهت ادامه میدهد و جسم سبک میتواند با سرعتی نزدیک دو برابر u₁ حرکت کند.
سه حالت ویژه را برای کنترل سریع پاسخ بشناس
در برخورد کشسان یکبعدی دو جرم برابر، سرعتهای دو جسم با یکدیگر جابهجا میشوند؛ این حکم حتی وقتی هر دو پیش از برخورد متحرکاند برقرار است. در برخورد روبهرو نیز همین قرارداد علامت کافی است و لازم نیست فرمول تازهای بسازی. اگر یکی از سرعتهای نهایی صفر شد، جسم لزوماً نچسبیده است؛ چسبیدن دو جسم ویژگی برخورد کاملاً ناکشسان است و هر دو باید سرعت نهایی یکسان داشته باشند.
پس از جواب، بررسی کن اجسام واقعاً از هم جدا میشوند. برای مثال اگر جسم ۱ در سمت چپ جسم ۲ است، باید v₂ − v₁ مثبت باشد. همچنین انرژی هر جسم جداگانه لازم نیست پایسته بماند؛ جسمها انرژی جنبشی ردوبدل میکنند و فقط مجموع انرژی جنبشی دستگاه در برخورد کشسان ثابت است.
دامهای رایج تستی را با سه کنترل حذف کن
خطای نخست، مثبتنوشتن همه تندیهای دادهشده بدون توجه به جهت حرکت است. خطای دوم، استفاده از رابطه سرعت نسبی برای برخورد ناکشسان یا چسبنده است. خطای سوم، پایستهگرفتن انرژی جنبشی هر جسم بهتنهایی است. خطای چهارم، پذیرفتن پاسخهایی است که پس از برخورد هنوز اجسام را در حال نزدیکشدن نشان میدهند.
سه کنترل مستقل داشته باش: مجموع m v پیش و پس برابر باشد؛ مجموع ½mv² تغییر نکند؛ و سرعت نسبی جدایی برابر سرعت نسبی نزدیکشدن شود. برای مرور مفهوم ضربه و تکانه، مقاله تکانه و برخورد را بخوان. اگر حرکت پس از برخورد دوبعدی است، راهنمای برخورد دوبعدی مناسبتر است؛ و اگر گلوله در جسم میماند، مقاله آونگ بالستیک تفاوت مرحله برخورد ناکشسان و مرحله تبدیل انرژی را نشان میدهد.
برای برخورد کشسان یکبعدی ابتدا محور را انتخاب و u و v را همراه علامت بنویس. سپس پایستگی تکانه را در کنار v₂ − v₁ = u₁ − u₂ حل کن؛ این دو رابطه برای دو سرعت نهایی کافیاند. اگر یکی از جسمها ساکن است، فرمولهای آماده میتوانند محاسبه را کوتاه کنند، اما جای قرارداد علامت و کنترل فیزیکی را نمیگیرند. در پایان باید تکانه و انرژی جنبشی پیش و پس از برخورد برابر باشند و سرعت جدایی نیز با سرعت نزدیکشدن برابری کند.