در برخورد دوبعدی، پایستگی تکانه را یکبار برای محور x و یکبار برای محور y بنویس: مجموع pₓ پیش از برخورد با مجموع pₓ پس از آن برابر است و همین برابری برای pᵧ نیز برقرار میماند. محور x را همجهت با سرعت ورودی انتخاب کن، هر تکانه mv را با علامت درست به مؤلفهها بشکن و دو معادله مستقل را حل کن. پس از یافتن مؤلفههای سرعت مجهول، اندازه آن را با رابطه فیثاغورس و جهتش را با تانژانت به دست آور. پایستگی تکانه بهتنهایی به معنی کشسانبودن برخورد نیست؛ برای این تشخیص باید انرژی جنبشی ابتدا و انتها را جداگانه مقایسه کنی.
پیش از نوشتن معادله، دستگاه برخورد را انتخاب کن
پایستگی تکانه برای دستگاهی به کار میرود که تکانه خارجی واردشده در مدت کوتاه برخورد ناچیز باشد. معمولاً هر دو جسم برخوردکننده را با هم دستگاه میگیریم؛ نیرویی که دو جسم به یکدیگر وارد میکنند داخلی است و در تکانه کل دستگاه حذف میشود. اگر نیروی خارجی قابلتوجه یا ضربه خارجی در صورت سؤال وجود دارد، باید اثر آن را نیز در نظر بگیری.
رابطه اصلی برداری است: p⃗₁ + p⃗₂ = p⃗′₁ + p⃗′₂. چون برابری دو بردار یعنی برابری مؤلفههای متناظر، میتوان نوشت Σpₓ,قبل = Σpₓ,بعد و Σpᵧ,قبل = Σpᵧ,بعد. جرمها کمیت نردهایاند و جهت هر جمله از سرعت آن میآید.
- دستگاه پیشنهادی: هر دو جسم برخوردکننده
- رابطه برداری: Σp⃗قبل = Σp⃗بعد
- شرط کاربرد: ضربه خارجی در مدت برخورد ناچیز باشد
محورها را طوری انتخاب کن که مؤلفههای اولیه ساده شوند
اگر یکی از جسمها پیش از برخورد ساکن است، محور x را در راستای حرکت جسم ورودی بگیر. در این انتخاب، تکانه اولیه روی محور y صفر است و معادله y اغلب سریعتر جهت حرکت جسم دوم را مشخص میکند. جهت مثبت y را نیز روی شکل علامت بزن تا علامت سینوسها از روی شکل خوانده شود، نه از حفظ.
برای برداری با اندازه p و زاویه θ نسبت به محور مثبت x، مؤلفهها pₓ = p cosθ و pᵧ = p sinθ هستند؛ اما علامت را ربع بردار تعیین میکند. بردار زیر محور x مؤلفه y منفی دارد. اگر زاویه نسبت به محور y داده شده باشد، بهتر است ابتدا زاویه با x را پیدا کنی یا مؤلفه مجاور هر محور را مستقیم از شکل تشخیص بدهی.
- محور x: ترجیحاً همراستا با حرکت ورودی
- بالای محور x: مؤلفه y مثبت
- پایین محور x: مؤلفه y منفی
برخورد دوبعدی را در شش گام حل کن
یک: دستگاه و لحظه قبل و بعد برخورد را مشخص کن. دو: محورهای x و y و علامت جهتها را روی شکل بنویس. سه: برای هر جسم جدول کوتاهی از جرم، تندی، زاویه، pₓ و pᵧ بساز. چهار: معادله پایستگی تکانه را جداگانه روی دو محور بنویس. پنج: مجهولهای مؤلفهای را حل کن. شش: اگر سرعت به صورت مؤلفه به دست آمده، اندازه و جهت آن را بازسازی و نتیجه را با شکل کنترل کن.
اگر vₓ و vᵧ معلوم باشند، اندازه سرعت از v = √(vₓ² + vᵧ²) به دست میآید. زاویه مرجع از tan⁻¹(|vᵧ/vₓ|) محاسبه میشود، اما گزارش جهت فقط با این عدد کامل نیست: علامت دو مؤلفه را بررسی کن و بنویس بردار در کدام ربع یا چند درجه بالاتر یا پایینتر از محور x قرار دارد.
مثال حلشده: سرعت و جهت جسم دوم پس از برخورد
جسم اول با جرم 0.20 kg و تندی 5.0 m/s در راستای شرق حرکت میکند و با جسم ساکن 0.30 kg برخورد میکند. پس از برخورد، جسم اول با تندی 3.0 m/s در زاویه 30 درجه شمالِ شرق حرکت میکند. سرعت جسم دوم را پیدا کن.
شرق را +x و شمال را +y میگیریم. تکانه کل اولیه (1.00, 0) kg·m/s است. تکانه نهایی جسم اول برابر 0.20×3.0 = 0.60 kg·m/s است؛ پس مؤلفههای آن (0.60cos30°، 0.60sin30°) یا تقریباً (0.520, 0.300) هستند.
از پایستگی تکانه، تکانه جسم دوم برابر (1.00, 0) − (0.520, 0.300) = (0.480, −0.300) kg·m/s میشود. با تقسیم بر جرم 0.30 kg، سرعت آن (1.60, −1.00) m/s است. بنابراین اندازه سرعت √(1.60² + 1.00²) ≈ 1.89 m/s و جهت آن tan⁻¹(1.00/1.60) ≈ 32 درجه جنوبِ شرق است. علامت منفی مؤلفه y نشان میدهد دو جسم پس از برخورد در دو سوی محور اولیه پخش شدهاند.
کشسانبودن برخورد را با انرژی جنبشی جداگانه بررسی کن
تکانه کل در هر برخوردِ دستگاه منزوی پایسته است، چه برخورد کشسان باشد و چه ناکشسان. انرژی جنبشی فقط در برخورد کشسان پایسته میماند. بنابراین پس از حل تکانه، Kقبل = Σ(1/2)mv² و Kبعد = Σ(1/2)mv′² را مقایسه کن؛ برابری این دو باید از داده یا محاسبه نتیجه شود و نباید از ابتدا بدون دلیل فرض شود.
در مثال بالا، انرژی جنبشی اولیه 2.50 J است. انرژی نهایی جسم اول 0.90 J و انرژی نهایی جسم دوم حدود 0.53 J است؛ مجموع حدود 1.43 J میشود. پس با وجود پایستگی تکانه برداری، انرژی جنبشی کاهش یافته و برخورد کشسان نیست. اختلاف انرژی میتواند به تغییر شکل، گرما یا صوت تبدیل شده باشد.
حالت ویژه جرمهای برابر را بدون تعمیم نادرست بشناس
در برخورد کشسان دوبعدی دو جرم برابر، اگر جسم دوم ابتدا ساکن باشد، دو سرعت نهایی در حالت غیرصفر بر هم عمود میشوند. این نتیجه از ترکیب پایستگی تکانه و انرژی جنبشی به دست میآید؛ یک قاعده عمومی برای هر برخورد دوبعدی نیست.
اگر جرمها برابر نباشند، جسم دوم از ابتدا متحرک باشد یا برخورد ناکشسان باشد، نمیتوان عمودبودن مسیرهای خروجی را فرض کرد. در چنین سؤالهایی فقط معادلههای مؤلفهای و اطلاعات صریح صورت مسئله معتبرند.
خطاهای رایج را با سه کنترل نهایی پیدا کن
خطای نخست، جمعکردن اندازه تکانهها به جای مؤلفههای علامتدار است. خطای دوم، مثبتگرفتن همه سینوسها با وجود حرکت یک جسم زیر محور x است. خطای سوم، استفاده همزمان از پایستگی تکانه و انرژی جنبشی بدون آن است که برخورد کشسان باشد.
در پایان سه کنترل انجام بده: واحد هر تکانه باید kg·m/s باشد؛ جمع مؤلفههای x و y پس از برخورد باید جداگانه با مقدار پیش از برخورد برابر شود؛ و جهت بازسازیشده باید با علامت مؤلفهها سازگار باشد. برای پایه تکانه و ضربه، مقاله تکانه و برخورد را مرور کن و اگر تجزیه بردارها دشوار است، راهنمای تجزیه و جمع بردارها را بخوان.
برخورد دوبعدی همان پایستگی تکانه یکبعدی است که روی دو محور مستقل اجرا میشود. دستگاه را مشخص کن، محور مناسب بساز، همه تکانهها را به مؤلفه تبدیل کن و دو معادله Σpₓ و Σpᵧ را حل کن. سپس از مؤلفهها اندازه و ربع جهت سرعت را تعیین کن. فقط اگر صورت سؤال کشسانبودن را گفته یا انرژی جنبشی کل ابتدا و انتها برابر شده است، از پایستگی انرژی جنبشی نیز استفاده کن. کنترل واحد، علامت مؤلفه y و بازسازی بردار کل، خطاهای رایج این سؤالها را آشکار میکند.