پاسخ مستقیم این است: در مدل آموزشی آزمایش تامسون، میدان الکتریکی و مغناطیسی متقاطع را طوری تنظیم میکنیم که پرتو الکترونی منحرف نشود. تعادل اندازه نیروها eE = evB سرعت را به صورت v = E/B میدهد. سپس با قطع میدان الکتریکی و اندازهگیری شعاع r مسیر دایرهای در همان میدان مغناطیسی، از evB = mv²/r به |e|/m = v/(Br) = E/(B²r) میرسیم. پس مسیر حل سه بخش دارد: شرط عبور مستقیم، حرکت دایرهای و حذف سرعت میان دو رابطه.
چیدمان تامسون چه چیزی را اندازه میگیرد؟
در لوله پرتو کاتدی، باریکهای از الکترونها در ناحیهای با میدان الکتریکی و میدان مغناطیسی عبور میکند. میدانها بر هم و بر جهت حرکت پرتو عمودند. صفحه یا لکه نورانی انتهای لوله نشان میدهد پرتو مستقیم مانده یا منحرف شده است. با تغییر شدت میدانها میتوان حالت بدون انحراف و سپس شعاع مسیر خمیده را اندازه گرفت.
انحراف پرتو به سوی صفحه مثبت نشان میدهد ذرات آن بار منفی دارند. یکسانبودن ویژگی پرتو با تغییر جنس کاتد نیز از شواهد تاریخی ذرهای مشترک در ماده بود. بخش محاسباتی آزمایش، خودِ بار یا جرم را جداگانه نمیدهد؛ خروجی آن نسبت اندازه بار به جرم، یعنی |e|/m، است.
- میدان الکتریکی: تغییر جهت و تندی ممکن است.
- میدان مغناطیسی عمود بر سرعت: تغییر جهت بدون تغییر تندی.
- کمیت نهایی آزمایش: |e|/m با یکای C/kg
از عبور مستقیم، سرعت الکترون را پیدا کن
وقتی پرتو بدون انحراف عبور میکند، نیروی الکتریکی و مغناطیسی هماندازه و خلافجهتاند. اندازه نیروی الکتریکی |e|E و، چون سرعت بر میدان مغناطیسی عمود است، اندازه نیروی مغناطیسی |e|vB است. بنابراین |e|E = |e|vB و پس از حذف بار، v = E/B به دست میآید.
این رابطه فقط برای حالت انتخاب سرعت معتبر است: میدانهای E و B باید بر هم و بر v عمود باشند و دو نیرو واقعاً خلاف جهت یکدیگر قرار گیرند. اگر پرتو هنوز خم شود، برآیند نیرو صفر نیست و نباید v = E/B را به کار برد.
- شرط بیانحرافی: F_E = F_B
- سرعت پرتو: v = E/B
- کنترل یکا: (N/C)/T = m/s
از شعاع مسیر، نسبت بار به جرم را بساز
پس از تعیین سرعت، میدان الکتریکی را قطع میکنیم و پرتو در میدان مغناطیسی یکنواخت مسیر دایرهای میپیماید. نیروی مغناطیسی در هر لحظه عمود بر سرعت و رو به مرکز مسیر است، پس نقش نیروی مرکزگرا را دارد: |e|vB = mv²/r.
با سادهکردن رابطه داریم |e|/m = v/(Br). اگر سرعت مرحله قبل را جایگذاری کنیم، رابطه مستقیم |e|/m = E/(B²r) حاصل میشود. بزرگترشدن شعاع، با E و B ثابت، یعنی انحنای کمتر و نسبت بار به جرم کوچکتر.
- شعاع مسیر: r = mv/(|e|B)
- نسبت بار به جرم: |e|/m = v/(Br)
- رابطه ترکیبی: |e|/m = E/(B²r)
جهت نیرو را برای بار منفی وارونه کن
برای میدان الکتریکی، جهت E همان جهت نیروی وارد بر بار مثبت است؛ بنابراین نیروی وارد بر الکترون خلاف E خواهد بود. برای میدان مغناطیسی نیز ابتدا جهت v × B را با قاعده دست راست برای بار مثبت پیدا کن و سپس بهدلیل منفیبودن بار الکترون، جهت را برعکس کن.
علامت منفی الکترون را وارد اندازه |e|/m نکن. نسبت گزارششده در این مسئله معمولاً اندازهای مثبت است. علامت فقط برای تشخیص بالا یا پایین رفتن پرتو و جهت مرکز دایره لازم میشود.
مسئله آزمایش تامسون را در پنج گام حل کن
یک: جهت v، E و B را روی سه محور جدا رسم کن. دو: در حالت عبور مستقیم دو نیرو را خلافجهت قرار بده و v = E/B را بنویس. سه: برای مرحله میدان مغناطیسی، شعاع را از قطر یا شکل درست بخوان. چهار: |e|/m = v/(Br) را به کار ببر یا سرعت را حذف و E/(B²r) را حساب کن. پنج: یکاها و جهت انحراف الکترون را مستقل از محاسبه اندازه کنترل کن.
اگر بهجای میدان الکتریکی E، اختلاف پتانسیل V و فاصله صفحهها d داده شده باشد، برای صفحههای موازی از E = V/d استفاده کن. اگر قطر مسیر داده شده، پیش از جایگذاری r = D/2 بنویس؛ اشتباهگرفتن قطر با شعاع پاسخ را دو برابر یا نصف میکند.
مثال حلشده: محاسبه سرعت و |e|/m
پرتوی الکترونی در میدانهای متقاطع E = 3.0×10⁴ N/C و B = 2.0×10⁻³ T بدون انحراف عبور میکند. پس از قطع میدان الکتریکی، شعاع مسیر در همان میدان مغناطیسی r = 4.3 cm میشود. سرعت و نسبت |e|/m را پیدا کن.
ابتدا v = E/B = (3.0×10⁴)/(2.0×10⁻³) = 1.5×10⁷ m/s. شعاع را به متر تبدیل میکنیم: r = 0.043 m. سپس |e|/m = v/(Br) = (1.5×10⁷)/[(2.0×10⁻³)(0.043)] ≈ 1.74×10¹¹ C/kg.
این مقدار با مرتبه بزرگی مقدار مرجع 1.76×10¹¹ C/kg سازگار است. اختلاف کوچک از گردکردن دادههای مثال میآید. سرعت نیز از سرعت نور بسیار کمتر است، بنابراین مدل کلاسیک بهکاررفته در این مسئله آموزشی تقریب مناسبی است.
اگر ولتاژ شتابدهنده داده شد، مسیر دوم را بشناس
در بعضی سؤالها الکترون از سکون با اختلاف پتانسیل شتابدهنده V_a سرعت میگیرد. با صرفنظر از اثرهای نسبیتی، کار میدان به انرژی جنبشی تبدیل میشود: |e|V_a = mv²/2. اگر سپس الکترون در میدان مغناطیسی عمود بر سرعت دایرهای شود، ترکیب این رابطه با r = mv/(|e|B) میدهد |e|/m = 2V_a/(B²r²).
این مسیر را با روش میدانهای متقاطع مخلوط نکن. در روش اول سرعت از E/B اندازهگیری میشود؛ در روش دوم سرعت واسطهای است و از انرژی و شعاع حذف میشود. نماد V_a اختلاف پتانسیل با یکای ولت است، اما E شدت میدان با یکای N/C یا V/m است.
خطاهای رایج را پیش از انتخاب گزینه کنترل کن
خطای اول، همجهتگرفتن نیروی الکتریکی با میدان برای الکترون است. خطای دوم، استفاده از v = E/B وقتی پرتو منحرف میشود. خطای سوم، گذاشتن سانتیمتر بهجای متر یا قطر بهجای شعاع است. خطای چهارم، نتیجهگرفتن جداگانه e یا m از آزمایشی است که فقط نسبت آنها را میدهد.
برای ادامه، مقاله انتخابگر سرعت شرط بیانحرافی را در کاربرد عمومی توضیح میدهد و راهنمای نیروی مغناطیسی حرکت دایرهای را کامل میکند. سپس مقاله آزمایش میلیکان نشان میدهد اندازه بار بنیادی چگونه جداگانه به دست میآید؛ با داشتن |e| و |e|/m میتوان جرم الکترون را محاسبه کرد.
در آزمایش تامسون، عبور مستقیم در میدانهای متقاطع سرعت پرتو را از v = E/B تعیین میکند و انحنای مسیر در میدان مغناطیسی نسبت |e|/m را از v/(Br) به دست میدهد. اندازه بار در معادلهها مثبت نوشته میشود؛ منفیبودن الکترون فقط جهت نیرو و انحراف را عوض میکند. پیش از انتخاب پاسخ، عمودبودن میدانها، یکاهای SI، ثابتماندن سرعت در میدان مغناطیسی و مرتبه بزرگی نسبت را کنترل کن. این آزمایش نسبت بار به جرم را میدهد؛ برای جداکردن بار و جرم باید نتیجه مستقلی مانند اندازهگیری بار بنیادی میلیکان نیز داشته باشیم.