اگر جسم صلبی از محوری افقی آویزان باشد و بتواند حول آن نوسان کند، با آونگ فیزیکی روبهرو هستیم. برای نوسانهای کوچک، دوره آن T = 2π√[Iₚ/(Mgh)] است؛ در این رابطه Iₚ لختی دورانی جسم حول محور آویز، M جرم کل و h فاصله مرکز جرم تا محور است. پس برخلاف آونگ ساده، فقط یک طول هندسی کافی نیست: هم محل مرکز جرم و هم توزیع جرم نسبت به محور در دوره اثر دارند. طول آونگ ساده همدوره نیز L_eq = Iₚ/(Mh) است.
آونگ فیزیکی را از آونگ ساده تشخیص بده
در آونگ ساده، جرم نخ ناچیز و جرم جسم در یک نقطه متمرکز فرض میشود. در آونگ فیزیکی، جسم گسترده است؛ مانند میلهای که از یک سر آویزان شده، صفحهای که حول میخی میچرخد یا حلقهای که محورش از نقطهای روی لبه میگذرد. همه بخشهای جسم با سرعت زاویهای یکسان میچرخند، اما فاصلههای متفاوتشان از محور باعث میشود توزیع جرم اهمیت پیدا کند.
محور آویز را P و فاصله آن تا مرکز جرم را h بنام. وقتی جسم به اندازه زاویه θ از وضعیت پایدار منحرف میشود، وزن Mg در مرکز جرم اثر میکند. نیروی تکیهگاه از محور میگذرد و حول P گشتاور ندارد؛ بنابراین گشتاور وزن عامل بازگرداندن جسم است.
- جرم کل جسم: M
- فاصله محور تا مرکز جرم: h
- لختی دورانی حول محور آویز: Iₚ
- زاویه نسبت به وضعیت تعادل پایدار: θ
فرمول دوره را از گشتاور بازگرداننده بساز
اندازه بازوی وزن نسبت به محور h sinθ است. اگر جهت مثبت را جهت افزایش θ بگیریم، گشتاور وزن τ = −Mgh sinθ میشود؛ علامت منفی نشان میدهد گشتاور خلاف انحراف و به سوی تعادل است. قانون دوم دوران نیز Iₚα = τ و α = d²θ/dt² میدهد.
برای زاویههای کوچک بر حسب رادیان، sinθ ≈ θ است. در نتیجه Iₚθ¨ = −Mghθ یا θ¨ + (Mgh/Iₚ)θ = 0 به دست میآید. این معادله حرکت هماهنگ ساده با ω = √(Mgh/Iₚ) است؛ پس T = 2π√[Iₚ/(Mgh)].
- گشتاور وزن: τ = −Mgh sinθ
- تقریب زاویه کوچک: sinθ ≈ θ
- بسامد زاویهای: ω = √(Mgh/Iₚ)
- دوره: T = 2π√[Iₚ/(Mgh)]
لختی دورانی را حول محور آویز محاسبه کن
رایجترین خطا جایگذاری لختی دورانی حول مرکز جرم بهجای لختی حول محور آویز است. اگر I_cm را میدانی و دو محور موازیاند، قضیه محورهای موازی میدهد Iₚ = I_cm + Mh². فاصله h باید عمود بر دو محور و از مرکز جرم تا محور آویز اندازهگیری شود.
برای نمونه، لختی میله یکنواخت به طول L حول محور عمود بر میله و گذرنده از مرکز جرم ML²/12 است. اگر محور از یک سر بگذرد، h = L/2 و Iₚ = ML²/12 + M(L/2)² = ML²/3 میشود. نوشتن ML²/12 در فرمول دوره، اثر جابهجایی محور را نادیده میگیرد.
مسئله آونگ فیزیکی را در پنج گام حل کن
یک: شکل جسم و محور واقعی دوران را مشخص کن. دو: مرکز جرم جسم را پیدا و h را اندازه بگیر. سه: Iₚ را مستقیماً یا با قضیه محورهای موازی حساب کن. چهار: وجود شرط نوسان کوچک را بررسی و دادهها را به SI تبدیل کن. پنج: مقادیر را در T = 2π√[Iₚ/(Mgh)] بگذار و نتیجه را با طول معادل کنترل کن.
جرم M اغلب پس از جایگذاری Iₚ حذف میشود، اما آن را زودتر و بدون دیدن شکل لختی حذف نکن. کنترل ابعادی نیز مفید است: Iₚ/(Mgh) واحد s² دارد، بنابراین جذر آن زمان است.
- محور و مرکز جرم را روی شکل علامت بزن.
- I و h باید نسبت به همان محور تعریف شوند.
- زاویه را برای تقریب کوچک بر حسب رادیان در نظر بگیر.
- واحد نهایی دوره ثانیه است.
مثال حلشده: دوره میله یکنواخت آویخته از یک سر
میله یکنواختی به طول 0.90 m از یک سر، حول محوری افقی و عمود بر میله آویزان است. میله را اندکی منحرف و رها میکنیم. با g = 10 m/s²، دوره نوسان و طول آونگ ساده همدوره را بیاب.
مرکز جرم میله در میانه آن است، پس h = L/2 = 0.45 m. لختی دورانی حول سر میله Iₚ = ML²/3 است. بنابراین T = 2π√[(ML²/3)/(MgL/2)] = 2π√(2L/3g). با جایگذاری L = 0.90 m و g = 10 m/s² داریم T = 2π√0.06 ≈ 1.54 s.
طول معادل از L_eq = Iₚ/(Mh) به دست میآید: L_eq = (ML²/3)/(ML/2) = 2L/3 = 0.60 m. کنترل پاسخ ساده است: اگر آونگ سادهای به طول 0.60 m بسازیم، دوره آن 2π√(0.60/10) و همان 1.54 s خواهد بود.
طول معادل را درست تفسیر کن
با مقایسه T = 2π√[Iₚ/(Mgh)] و دوره آونگ ساده T = 2π√(L/g)، طول معادل L_eq = Iₚ/(Mh) تعریف میشود. این طول لزوماً برابر طول جسم یا فاصله محور تا مرکز جرم نیست؛ فاصلهای فرضی است که یک جرم نقطهای آویخته در آن، دورهای برابر با جسم صلب دارد.
نقطهای روی خط محور تا مرکز جرم و در فاصله L_eq از محور را مرکز نوسان مینامند. برای حل عددی معمولاً همین رابطه کافی است. اگر پاسخ طول معادل داده شد، میتوان مسیر را برعکس رفت و دوره را مستقیماً از T = 2π√(L_eq/g) محاسبه کرد.
شرط اعتبار و دامهای رایج را کنترل کن
فرمول دوره از تقریب sinθ ≈ θ ساخته شده و برای دامنه زاویهای کوچک است. در زاویههای بزرگ، دوره کمی به دامنه وابسته میشود و رابطه ساده پاسخ دقیق نمیدهد. همچنین محور باید ثابت باشد، اصطکاک محور و مقاومت هوا ناچیز فرض شوند و جسم هنگام حرکت شکل خود را حفظ کند.
اگر h = 0 باشد، مرکز جرم روی محور قرار دارد و وزن حول محور گشتاور بازگرداننده نمیسازد؛ پس عبارت دوره با تقسیم بر صفر هشدار میدهد که نوسان آونگی کوچک نداریم. اگر محور بالاتر از مرکز جرم نباشد، وضعیت آویزانِ فرضشده ممکن است تعادل پایدار نباشد. برای مرور حالت جرم نقطهای، مقاله آونگ ساده را بخوان؛ برای انتقال I به محور آویز از راهنمای قضیه محورهای موازی و برای علامت گشتاور از مقاله تعادل میله استفاده کن.
- I_cm را مستقیم بهجای Iₚ نگذار.
- h طول کامل جسم نیست؛ فاصله محور تا مرکز جرم است.
- در h = 0 نیروی بازگرداننده گرانشی وجود ندارد.
- رابطه دوره به تقریب زاویه کوچک وابسته است.
برای حل آونگ فیزیکی، ابتدا مرکز جرم و فاصله h آن تا محور را پیدا کن، سپس لختی دورانی را دقیقاً حول همان محور به دست آور. با فرض زاویه کوچک، T = 2π√[Iₚ/(Mgh)] و طول معادل L_eq = Iₚ/(Mh) است. اگر لختی حول مرکز جرم داده شده، پیش از جایگذاری از Iₚ = I_cm + Mh² استفاده کن. قرارگرفتن محور روی مرکز جرم نیروی بازگرداننده گرانشی را از بین میبرد و فرمول دوره دیگر قابل استفاده نیست؛ در زاویههای بزرگ نیز تقریب sinθ ≈ θ معتبر نیست.