برای آونگ بارداری در میدان الکتریکی افقی یکنواخت، نیروی ثابت qE را همراه وزن mg در یک نیروی مؤثر جمع کن. نخ در تعادل همجهتِ خلاف برآیند این دو نیرو قرار میگیرد و اندازه زاویه انحراف از قائم از tanβ = |q|E/(mg) به دست میآید. کشش تعادل برابر √((mg)² + (qE)²) است. اگر دامنه نوسان حول این راستای تازه کوچک باشد، آونگ مانند آونگ سادهای با g_eff = √(g² + (qE/m)²) نوسان میکند و دوره آن T = 2π√(L/g_eff) است؛ علامت بار جهت انحراف را عوض میکند، نه اندازه زاویه یا دوره را.
سه نیروی آونگ باردار را درست رسم کن
گلولهای با جرم m و بار q به نخ سبکی به طول L آویزان است و در میدان الکتریکی افقی و یکنواخت E قرار دارد. بر گلوله سه نیرو وارد میشود: وزن mg رو به پایین، نیروی الکتریکی qE در راستای میدان برای بار مثبت و خلاف میدان برای بار منفی، و کشش نخ در امتداد نخ به سوی نقطه آویز. میدان یکنواخت یعنی qE با تغییر مکان گلوله ثابت میماند.
علامت q را هنگام تعیین جهت نیرو نگه دار، اما برای محاسبه اندازه زاویه از |q| استفاده کن. اگر بار مثبت باشد آونگ در جهت میدان منحرف میشود و اگر بار منفی باشد در سوی مخالف. نیروی کشش را بهجای قائم، حتماً در امتداد نخ رسم کن؛ همین جهت مجهول است که وضعیت تعادل آن را تعیین میکند.
- وزن: اندازه mg و جهت قائم رو به پایین
- نیروی الکتریکی: qE با جهت وابسته به علامت q
- کشش: در امتداد نخ به سوی تکیهگاه
زاویه تعادل و کشش نخ را از مؤلفهها به دست آور
زاویه نخ با قائم را β بگیر. در تعادل، مؤلفه قائم کشش وزن را خنثی میکند و مؤلفه افقی آن نیروی الکتریکی را: T₀cosβ = mg و T₀sinβ = |q|E. با تقسیم دو رابطه، tanβ = |q|E/(mg) به دست میآید. این رابطه فقط اندازه زاویه را میدهد؛ سمت انحراف را باید جداگانه از علامت بار مشخص کنی.
با جمع برداری دو مؤلفه نیز T₀ = √((mg)² + (qE)²) است. این مقدار از mg بزرگتر است، مگر آنکه میدان یا بار صفر باشد. برای کنترل جواب، اگر E به صفر میل کند باید β به صفر و T₀ به mg برگردد؛ اگر |q|E نسبت به mg بزرگ شود، نخ به راستای افقی نزدیک میشود.
- tanβ = |q|E/(mg)
- T₀ = √((mg)² + (qE)²)
- علامت q فقط سمت انحراف را تعیین میکند
وزن و نیروی الکتریکی را به گرانش مؤثر تبدیل کن
نیروی ثابت وارد بر گلوله، بدون احتساب کشش، برابر جمع برداری mg رو به پایین و qE در راستای افقی است. اگر این برآیند را بر جرم تقسیم کنیم، بردار شتاب مؤثر به دست میآید. اندازه آن g_eff = √(g² + (qE/m)²) و جهتش همان راستای نخ در تعادل است.
این جایگزینی یعنی آونگ در دستگاهی با یک شتاب ثابت مایل نوسان میکند. نقطه تعادل دیگر زیر تکیهگاه نیست، بلکه در جهت بردار گرانش مؤثر قرار دارد. چون دو مؤلفه افقی و قائم برهم عمودند، اندازهها را فیثاغورسی جمع میکنیم؛ جمع ساده g + qE/m برای این میدان افقی نادرست است.
دوره نوسان کوچک را حول تعادل تازه محاسبه کن
اگر گلوله را اندکی از راستای تعادل تازه منحرف و رها کنیم، مؤلفه مماسی نیروی مؤثر آن را بازمیگرداند. برای زاویه کوچک α نسبت به همین راستای تعادل، sinα ≈ α و معادله حرکت همان شکل آونگ ساده را با g_eff دارد. بنابراین T = 2π√(L/g_eff).
میدان افقی اندازه g_eff را از g بیشتر میکند؛ در نتیجه دوره از حالت بدون میدان کوتاهتر میشود. نکته مهم این است که کوچکی زاویه را باید نسبت به محل تعادل مایل سنجید، نه نسبت به خط قائم. اگر دامنه بزرگ باشد، رابطه دوره آونگ ساده تقریب دقیقی نیست.
- مبدأ زاویه نوسان: راستای تعادل مایل
- شرط تقریب: دامنه کوچک
- دوره: T = 2π√(L/g_eff)
مثال حلشده: زاویه، کشش و دوره یک آونگ باردار
گلولهای با جرم 20 g و بار مثبت 40 μC به نخ 50 cm متصل است. میدان افقی یکنواخت 10⁴ N/C، g = 10 m/s² و دامنه نوسان حول تعادل کوچک است. زاویه تعادل، کشش و دوره را پیدا کن.
ابتدا یکاها را تبدیل میکنیم: m = 0.020 kg، q = 40×10⁻⁶ C و L = 0.50 m. نیروی الکتریکی qE = 0.40 N و وزن mg = 0.20 N است. پس tanβ = 0.40/0.20 = 2 و β ≈ 63.4°؛ چون بار مثبت است، انحراف در جهت میدان خواهد بود.
کشش تعادل T₀ = √(0.20² + 0.40²) ≈ 0.447 N است. همچنین qE/m = 0.40/0.020 = 20 m/s² و g_eff = √(10² + 20²) ≈ 22.36 m/s². در نتیجه T = 2π√(0.50/22.36) ≈ 0.94 s. دوره بدون میدان حدود 1.40 s بود، پس کوتاهترشدن دوره با افزایش g_eff سازگار است.
مسیر حل چهارگامی را در تستها اجرا کن
یک: واحدها را به SI تبدیل و جهت میدان و علامت بار را مشخص کن. دو: نمودار جسم آزاد را بکش و از T₀cosβ = mg و T₀sinβ = |q|E زاویه یا کشش را بیاب. سه: فقط اگر سؤال دوره نوسان کوچک را خواست، g_eff را از اندازه جمع برداری g و qE/m حساب کن. چهار: طول نخ را در T = 2π√(L/g_eff) قرار بده و رفتار حدی جواب را بررسی کن.
اگر سؤال نسبت دوره با میدان و بدون میدان را بخواهد، محاسبه 2π و L لازم نیست: T_E/T_0 = √(g/g_eff). این نسبت باید کمتر از یک باشد. برای یافتن بار از زاویه تعادل نیز رابطه را به شکل |q| = mg tanβ/E بازنویسی کن و سپس علامت بار را از سمت انحراف نتیجه بگیر.
چهار دام رایج را پیش از ثبت پاسخ حذف کن
نخست، جهت نیروی الکتریکی بار منفی را همجهت میدان نگیر. دوم، qE و mg را چون عمودند بهصورت عددی جمع نکن. سوم، برای دوره از g بهتنهایی استفاده نکن؛ میدان محل تعادل و اندازه شتاب مؤثر را تغییر داده است. چهارم، زاویه کوچک نوسان را با زاویه تعادل β اشتباه نگیر؛ β میتواند بزرگ باشد، در حالی که جابهجایی نوسانی کوچک حول آن است.
این مدل به میدان یکنواخت و بار ثابت نیاز دارد. در میدان غیریکنواخت، نیروی الکتریکی با مکان تغییر میکند و جایگزینی آن با یک g_eff ثابت معتبر نیست. برای مرور دوره آونگ بدون میدان، راهنمای آونگ ساده را بخوان؛ مقاله تعادل ذره باردار نیز موازنه نیروهای الکتریکی و وزن را از زاویهای دیگر تمرین میدهد.
- جهت qE را پیش از نوشتن مؤلفهها تعیین کن.
- زاویه نوسان کوچک حول تعادل تازه تعریف میشود.
- درستی یکاها را کنترل کن: qE بر حسب نیوتون است.
- رفتار جواب در حد E → 0 باید به آونگ ساده برسد.
در میدان افقی یکنواخت، وزن و نیروی الکتریکی دو نیروی ثابت و عمود برهماند. برآیند آنها راستای تعادل تازه را میسازد: tanβ = |q|E/(mg)، کشش تعادل √((mg)² + (qE)²) و شتاب مؤثر √(g² + (qE/m)²) است. برای نوسانهای کوچک حول همین راستا، T = 2π√(L/g_eff). پیش از محاسبه جهت qE را از علامت بار تعیین کن و فرمول دوره را فقط وقتی به کار ببر که میدان یکنواخت، مقاومت هوا ناچیز و دامنه نسبت به تعادل تازه کوچک باشد.